92 PARADOXES. 



Maintenant on peut faire reinarquer que quand meme nous 

 pourrions conceder 1' existence du paradoxe que d'Alembert 

 suppose sur la courbe 



. *. 2 



?/ 3 4. x* = a?, 



la solution qu'il donne n'est aucunement admissible. L'un des 

 defauts du calcul, dit-il, peut etre explique par la supposition 

 que la branche C B (Fig. 2) est situee au-dela de B, comme B D, 

 par quoi, dit-il, il y aurait continuation de la branche B, 

 coinme s'il croyait qu'il n'y eut aucune continuation en B C. 

 Mais contre cette supposition s'elevent deux objections deci- 

 sives. Premierement, 1'equation donne aux y entre A et B des 

 valeurs egales et opposees des deux cotes du A B, au point B, 

 y = 0, et au-dela de B, comme par B d, portion de 1'axe qui 

 repond a B D, y ne peut pas exister, vu que x = > a, et 

 que le radical devient *J ! Mais secondement, il n'y a 

 pas possibilite qu'une courbe algebrique comme Test celle-ci 

 s'arrete tout court, ce que, par cette supposition, elle devrait 

 faire au point D, tandis que la difficulte qui principalement 

 fait recourir a 1'hypothese, la discontinuation supposee de la 

 branche a B au point B n'est reellement, excepte que la courbe 

 a un point de rebroussement (ou une cuspide) au point B. 

 Si le celebre geometre eut examine la courbe entiere * au lieu 

 de se borner a une de ses portions, il aurait trouv6 qu'elle est 

 uue ligne a E C B, a quatre cuspides, en rentrante en elle-meme ; 

 et il aurait certainement abandonne sa theorie et aussi sa 

 supposition du paradoxe et du defaut du calcul. Mais c'est 

 certain aussi qu'il aurait trouve d'autres paradoxes que 1'on 

 doit infiniment regretter qu'il n'ait pas examines, et dont la 

 solution ou 1'explication parait assez difficile, pour ne pas dire 

 impossible. Us ont rapport avec les recherches de dynamique 



* Nul doute qu'il domie la figure de la courbe entiere dans la planche ; 

 mais il ne parle du tout que des deux branches E a, a B, et sa notion que 

 la courbe s'arrete tout court k B avait la meme application a la branche 

 E a qui devait etre cense'e s'arreter tout court au point a ; et il ne propose 

 pas que cette branche E a soit continued de 1'autre cote de 1'axe C a. 

 Aiusi il parait certain qu'il n'avait pas forme les deux branches E C, B C, 

 et il se peut que la figure fut trace'e apres qu'il eut fini sa description. 



