94 PARADOXES. 



Cette force est repulsive par toute 1'orbite, car P et E etant 

 des cotes opposes de 1'axe doivent avoir des signes differents, 



r 



et ainsi 1'expression doit etre toujours negative. Mais 



l! . Ji 



voici un resultat de 1'equation. La force devient infinie 

 lorsque x = 0, c'est-a-dire au point a de 1'orbite, et aussi lors- 

 que x = a, c'est-a-dire au point B de 1'orbite, et elle est iufinie 

 aux deux autres points E et C. 



Si 1'on fait le cuspide (point double) C le centre de force au 

 lieu de A, on trouve 1'expression de la force (niettant a = 1) 

 comme 



,* 



[a iTa i ' 



f 2\ 2" 2 / 2\^" / 2\T 



1 - (l - X*) - X* (l - X*) J (\ - X*) 



et ici comme dans 1'autre cas, la valeur de la force est infinie 

 pour les deux valeurs de x, x = 1 et x = 0, et qui est assez 

 remarquable ; elle devient infinie au point B dans la portion de 

 1'orbite C B ou la force est attractive aussi bien que dans la 

 portion aB ou elle est repulsive, ou dans toutes les quatre 

 branches lorsque C, au lieu de A, est le centre de force. Meme 

 resultat si 1'on prend comme centre de force les points E et B. 

 Ainsi il est manifeste que dans tous les cas la valeur de la 

 force devient infinie lorsque le mobile arrive a Fun des points 

 de rebroussement. 



Avant de discuter ce resultat, il sera bon de faire observer 

 que la meme chose arrive dans le cas des autres orbites, et que 

 toutes les difficultes que 1'on eprouve dans la courbe dont 

 nous sommes occupes se recontrent dans ces autres trajectoires. 

 Par exemple dans la lemniscate 



y = x (1 - *)* 

 dont la sous-tangente est 



x(l -X*) 2x-.3x 3 _ (2-4x 4 -3xY 



"1 2~^~' : " ~ 2 X A 3 x 



(2 + 4 a?* - 5*)* 



