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V - îc / ' px° dx ~ pr, X "+ •-- r irx = x 



On peut encore élahlir une autre formule, beaucoup plus gé- 

 nérale, connue sous le nom de formule de Neivton, qui donne 

 le volume de la portion d'un solide comprise entre deux plans 

 parallèles en fonction de la distance /i de ces plans, des surfaces 

 S et s des sections qu'ils déterminent dans le solide et enfin de 

 la surface c qu'y détermine un plan mené parallèlenjent aux 

 deux premiers, entre eux, et équidistant de chacun d'eux. La 

 formule de Newton est 



V=^(S +5-f 4a) 

 u 



elle s'applique à tous les corps tels que la surface de la section 

 faite par un plan parallèle et à la distance x d'un plan origine 

 puisse être mise sous la forme 



S = A -i- Bj^ H- Ca;2 -f D j;3 



A, B, C, D pouvant être positifs, négatifs ou nuls. 



Voici une démonstration de celte formule (1). 



Considérons un solide terminé par deux plans parallèles dont 

 la distance est H, et soit un plan-origine parallèle le coupant à 

 mi-distance des deux bases. Si la surface de la section faite par 

 un plan parallèle au plan origine à la distance x de celui-ci peut 

 s'écrire 



S =A + Bx-^Cx^-{-Dx^ 



ce qui est notre hypothèse, on a évidemment, en appelant V le 

 volume du solide 



H 



V = r f^ {A i- Bx -{- Cx'i -{. Dx3) dx 



Bx- Cx^ Dx'* 

 .L'intégrale indéfinie est V = Ax -j — ; [_ _1- -^ — _ 



(1) Cette démonstration, plus simple que celle qu'on donne habituellement, 

 nous a été communiquée par M. Petitcollot, professeur de mathématiques et 

 Sous-Directeur à l'Ecole nationale des Eaux et Forêts. 



