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boloïde d'Appolonius. La propriété caractéristique de ce para- 

 boloïde, qui découle immédiatement de l'équation de la courbe 

 méridienne, est que la surface d'une section faite par un plan 

 perpendiculaire à l'axe mené à la distance H du sommet est 

 proportionnelle à H (1). 



Il en résulte que la surface a d'une section faite à mi-distance 

 de deux autres dont les surfaces sont S et 5 est égale à leur 

 moyenne arithmétique. 



S 4- 5 



Appliquons au paraboloïde d'Appolonius la formule générale 



de cubage des paraboloïdes de révolution 



g 



V = — ; — 7- H en faisant n = i il vient 



n-{- i 



1 



V = ^ SH, c'est-à-dire que le volume d'un paraboloïde 



est moitié de celui d'un cylindre de même base et de même 

 hauteur. 



Pour cuber le tronc de paraboloïde d'Appolonius terminé par 

 des plans perpendiculaires à l'axe, appliquons-lui la formule de 

 Newton 



TJ CI 1^ 



V = -g (S + 4 a 4- 5) or a = -^Y- ^'où 



6 2 • 



Le tronc de paraboloïde est le seul corps géométrique (avec 

 le cylindre qui n'en est qu'un cas particulier) qu'on puisse cuber 

 indifféremment en multipliant la hauteur soit par la surface de 



(1) En effet, si S est la surface d'une section faite à une distance x du sommet 

 d'un paraboloïde de révolution, et telle que l'on ait 



rfS_ 

 (ix 

 C étant une constante caractérisant la forme de la section longitudinale on 

 en déduira : 



S = Cx + a 

 et, puisque S et x sont nuls en même temps, S = C^, ou encore, en appelant 

 y le diamètre de la section, y: — Ka-, ce qui est bien l'équation de la section 

 méridienne du paraboloïde d'Appolonius. 



