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Pour aller plus loin, envisageons d'abord l'integrale simple : 



oil < et ^ sont des fonctions des que nous supposerons holomorphes et 

 independantes de k dans la region envisaged. Nous supposons que 

 a et ft sont re'els, que 1'integration se fait le long d'un chemin reel, et 

 que pour z re*el les fonctions </> et ^ sont re'els. 



Nous allons deformer ce chemin d'integration de fa9on que le long 

 du nouveau chemin la partie imaginaire de <j> (z) soit positive sauf en 

 certains points exceptionnels pour lesquels elle sera nulle. 



II est toujours possible de deformer le chemin de cette maniere, et les 

 seuls points exceptionnels qu'on est oblige de laisser subsister, et pour 

 lesquels la partie imaginaire de <t> (z) doit rester nulle, ce sont les 

 extremites du chemin a et ft, et d'autre part les points oil le chemin 

 doit traverser 1'axe des z reels, parce que la region oil la partie 

 imaginaire de < (z) est positive, passe d'un cdte* a 1'autre de cet axe 

 des z reels ; ces points sont ceux pour lesquels la de'rive'e <f> (z) est 

 nulle. Par exemple si on suppose < (z) = z 2 et z = x + i y ; la 

 region oil la partie imaginaire est positive est donnee par 1'inegalite' 

 y x > ; done pour x < 0, on doit avoir y < 0, et pour x > on doit 

 avoir y > ; done quand x passe par la valeur ze"ro, notre region 

 passe d'un cdte a 1'autre de 1'axe des x ; si done nous voulons que notre 

 chemin d'integration reste constamment dans cette region, nous ne 

 pouvons e'viter de le faire passer par 1'origine. 



Toutes les fois que la partie imaginaire de < (z) est positive, 

 1'exponentielle e ***< r ) tend rapidement vers quand on fait croltre k. 

 Si done k est tres grand, on aura une valeur tres approche'e de 

 l'integrale, en reduisant le chemin d'integration aux parties tres 

 voisines des points exceptionnels. Soit done a 1'un des points 

 exceptionnels autres que a et ft ; notre integrate se reduira a fort peu 

 pres a : 



6-e 



Nous sommes done ramenes au calcul d'integrales de la forme : 



Soit alors H + A (z - a)' B(s- O)P les premiers termes du 

 d^veloppement de <f> et de ^ suivant les puissances de z - a ; on aura 

 toujours avec la m^me approximation : 



K = e^ E I Ee* A * m zPdz, K' = e i 



