g L. EULERI OPERA POSTHUMA. Mechanica. 



numerus filorum CF=m, filorum DG = n. Omnium ergo filorum longitudo crevit elemento m.ag 

 et decrevit elcmento n.^h. Quare ex proprietate minimi, cum in utroque situ ^ et a eadem esse 

 debeat filorum longitudo, erit m:ag=n.Ah, unde m:n=Ah:ag. Est autem Jh:ag=s\nJah:smaAg; 

 sed smJah = s\nBaD seu s\n BJD, quia Aah-\-BaD aequatur duobus rectis, ob Dag et BaA 

 rectos. Simili modo est s\naAg=s\nBAC. Ergo m:n=s\nBAD:s\nBAC. Est \ero m:n=AC:AD (21); 

 ergo AC:AD = sin BAD : sin 5y^C. Simiii ratiocinio evincitur esse AB:AC= sin CAD : sin B^D, 

 ut ergo quaevis potentia sit ut sinus anguli a reliquis duabus potentiis formati. Q. E. D. 



30. Coroll. 1. Ergo substituendo loco potentiarum pondera P, Q et R (Fig. 10) requiritur 

 ad aequilibrium obtinendum, ut sit 



P:Q = s\nDAC:s\nBAD .^ .^ 



et P:R = s\nCAD:s\nBAC. 



31. Coroll. 2. Habito ergo aequilibrio, cognoscetur inde ratio potentiarum seu ponderum ex 

 sinibus angulorum. 



32. Ppoblema 4. Fig. 11. Puncto A duabus potentiis AB, AC applicatis, appiicare tertiam 

 ADf cum iilis in aequilibrio consistentem. 



Solutio. Ex potentiis datis AB, AC compleatur parallelogrammum ABEC, in quo per A 

 ducatur diagonalis AE, in qua ultra ^^ prolongata accipiatur AD = AE; dico hanc AD exhibere 

 tertiam polentiam quaesitam. Est enim AD (= AE) : AB = sin ABE : sin AEB. Sed ob figuram 

 ABEC parallelogrammum, est sinAB E = s\n BAC et s\n AEB = s\n EAC = s\n CAD. Consequenter 

 erit AD: AB = s\nBAC:s\nCAD, ergo hae tres potentiae in aequiiibrio consistunt (29). Q. E. I. 



33. Copoll. 1. Si ducatur in parallelogrammo ABEC altera diagonalis BC, haec et altera AE 

 se mutuo bisecabunt in F. Quamobrem AD est dupla ipsius AF; unde haec fluit problematis con- 

 structio: Fig. 12. Datae duae potentiae AB, AC jungantur recta BC; haec bisecetur in F, duca- 

 turque AF, et in hac ultra A producta sumatur AD = 2AF. Exprimet j(^Z) tertiam potentiam, cum 

 datis AB et AC \n aequilibrio constantem. .;!„.>;.,, ,. / 



34. Copoll, 2« Si ergo Fig. 13 tres potentiae AB, AC, AD, puncto A applicatae, aequilibrium 

 coraposuerint, junganturque BC, BD, CD, singula haec latera bifariam secabuntur in F, G et /T a 

 productis directionibus potentiarum DA, CA et BA. 



35. Tlieopema 3. Fig. ik. Si fuerint puncto A quotcunque potentiae AB, AC, AD, AE, 



AF, AG \n aequilibrio constantes applicatae, et earum quaevis AB \n alteram partem in P produ- 

 catur, ut sit AP = AB, exprimet haec AP potentiam reliquis AC, AD, AE, AF, AG aequivalentem, 

 aequalem nimirum cum illis in punctum A effectum exerentem. 



Demonstpatio, Cum omnes potentiae aequilibrium servent, potentiae AC, AE, AF, AG 

 impediunt ne potentia AB effectum suum obtineat; oportet ergo, ut eae omnes simul conentur 

 punctum A, secuudum plagam ipsi A oppositam, i. e. secundum AP, et vi ipsi AB aequali promo- 

 vere (5). Sed idem praestat potentia AP, quae una cum AB puncto A applicata, etiam aequili- 

 brium constituit (19). Quare potentia AP aequivalet omnibus, praeter AB nempe, AC, AD, AE, 

 AF, AG simul agentibus. Q. E. D. 



