8 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Mechmka 



GH.AE:EH.AG = LM.AE:EM,AL 

 ergo ob AL:AG=i:2 et LM:ME= i:2, habebitur 



GH : EH= LM:I_EM = LM: LM, ergo GH= EH, Q. E. Primum. 



Dein ia triangulo AEG est smAEL:s\nGEL = GE:AE, ob AL = LG. Et in triangulo ^Eff 

 est sin AEL :s\n GEL = AM. EH: MH . AE; ergo erit GE : AE= AM .^^xl^l^^^, Ergo ob 

 GE://£=2j>^l i5jjtj.2^J=^i/^^i:M^^^ CoDsequenter ; ' .e ^/foioU^, . o 



AM:AH=2:Z et ^il/:^P = l:3. Q. E. D^ ^ ? - . u t^ .1. 



46. Tlieorema 5. Fig. 18. Si puncto A sint plures potentiae applicatae (quae in figura non 

 sunt expressae) quarum numerus sit w-f- 1; potentiis autem n sit aequipollens AL, n vicibus sumta; 

 si ducatur ex L ad residuam potentiam AE recta LE, eaque dividatur in M, ut sit LM:EM=i:n, 

 erif ^/^/ pars — j potentiae, omnibus /i-i-l aequivalentis. 



Demonstpatio. Producatur AL in G, ut sit AL:AG=i:n, ent AG potentia aequivalens 

 omnibus praeter AE; jungatur GE: patet, ut ;^M sit media directio potentiarum AG et AE, opor- 

 tere eam per medium H lineae GE transire (41), et ut sit ^^ potentiae aequivalentis omnibus 

 AM:2AH=i:n-+-i (38): In triangulo y^LE est 



sin GAH : sin EAH =^ LM . AE : EM . AL = AE : nAL. '^'' 



beiii in trianeulo EAG est sin GAH : sin EAH = GH . AE : EH .AG. ifergo ' " . 



AE:n.AL=GH.AE:EH.AG; 

 ob AG = n.AL erit i:i = GH:EH, ergo GH=EH. Dein in triangulo AEG est 

 ^^ ^ smAEL:s\aGEL = AL.GE:GL.AE=GE:(n—i)AE; 



at in triangulo AEH est sin AEL : sin GEL = AM . EH : HM . AE. Ergo ex his duabus oritur haec 

 proportio GE :(n— i) AE = AM . EH: HM . AE; ob GE=2EH erit 2:n^i = AM:nM. Ergo 

 componendo AM : AH— 2 : /n- 1 , unde AM : 2AH =i:n-\-i, sed 2^// seu AP exprimit poten- 

 tiam pmnibus aequivalentem (39). Q. E. D. «of '=^ 



47. Copoll. Si ergo fuerit AL pars tertia potentiae aequivalentis tribus potentiis, erit AM 

 pars quarta potentiae aequivalentis quatuor. Si fuerit AL pars quarta potentiae aequivalentis qua- 

 tuor potentiis, erit AM pars quinta potentiae aequivalentis quinque, et ita porro. 



48. Ppoblema 6. Fig. 19. Puncto j4 quotcunque potentiis AB, ACy AD, AE, etc. appli- 

 catis, invenire potentiam AP iis aequivalentem, alio breviori modo. 



Solutio. Juncta BC, bisecetur in H, ductaque HD secetur in J, ut sit HJ=\HD, erit AJ 

 pars tertia potentiae aequivalentis tribus AB, AC et JD (45). Ducta JE secetur in K, ut sit 

 JK={JE, erit AK pars quarta potentiae aequiyalentis quatuor AB, AC, AD et AE (47). Jun- 

 gatur KFy eaque secetur in L, ut sit KL = \KF, ent AL pars quinta potentiae aequivalentis illis 

 quatuor cum AF (47). Sumta LM=^\LG^ erit assumta AP=QAMy AP aequivalens datis sex 

 (W)etc. Q.E.I. „ .,,..,, ,, . 



