20 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Mechanica. 



101. Exenipluin 1, Fig;. 52. Sit curva data recta DO, per D transiens, et y = nx; erit 

 ad alteram curvam: 



, /, ~ /, , 00 (6 — f^). no(b — v) 



V {aa -4- cc -f- « — 2ay(w-f-«) -^^) = q ' 



Er^o ^^^{h^vf={a-^-V[vv-^tt))\ unde °i^V(n/i-+-l) = a— -/(^(--4-«). 



Sit y(n/i-+- 1) =/n, erit Oa — moh-^-mov =r.Oy{yv -v-tt), quae est aequatio ad hyperbolam vel 

 ellipsin, prout mo majus vel minus est quam 0\ sin autem mo = 0^ erit curva quaesita parabola. 

 Si Oa = moh , erit Ol = v V^mmoo — 00) , eliam pro recta per D transeunte. 



102. Hxemplum 2. Fig:. 53. Sit curva data circuli quadrans DOJ per D transiens. Erit 

 dicto radio DC=c, yy = 2cx — xx. Substitutis loco j et aj valoribus inventis (99), erit 



/ ,//.. N\2 oo{b-v)^ ^oc(b-v) ooib — v)"^ <2oc{b — v) 



(a — y(w-+-pf)) =: — ^^ —-i ^ -^^^ ^= — ^^ 



V r ^i^i-r-vv/j 00 O 00 O 



2oc(6-.)_^_/,„ , ^ 



consequent^r aa-\-U -\-vv — = 2a Yitt -i- w). 



Quae aequatio exhibet curvam quarli ordinis. Si aa = — — » erit 



tt -H w -I- ^ = 2a y (« -4- pc) . 



103. Scholion. Obiter hic moneo inservire hanc curvam pontibus elevandis. Si enim OC 

 designet pontem, circa C mobilem: dum is elevatur, punctum extremum movetur in quadrante 

 AOD. Si ergo altera curva Doa dicto modo construatur et pondus debitum o funi, circa trochleam 

 in D circumplicato, appendatur, in quocunque situ pontis, pondus o eum in aequilibrio conservabit, 

 ut ergo minima vis, hoc aequilibrium tollens, pontem attollere et rursus demittere possit. Ratio 

 hujus autem in sequentibus, ubi de natura vectis disseretur, quaeri debet. 



104^. Problema 12. Fig. 5V. Si pondera et o fuerint aequalia, determinare casus, quibus 

 curvae BA et Ba sunt inter se eaedem et similiter applicatae. 



JSolutio. In statu quocunque ODo demissis pcrpendiculis OP, op , erit DP-t-Dp constans; 

 accepta ergo DC = — ^ — ' ^^^^ ^ punctum fixum , ergfo semper CP = Cp. Dicatur CP = cc, 

 erit Cp = — X, sit DC = b, erit DP = h-t-x et Dp = h — x. Exprimatur DO per functionem 

 ipsius P, quae, si loco x substituatur — x, abeat in p Designabit ergo/) rectam Do; oportet igitur, 

 ut sit P-f-p constans (100); ponatur P-i-p = 2a. Erit ergo P = a-i-Qetp = a — Q; ut autem 

 P abeat in p, si loco x substituatur — x, patet Q talem esse debere ipsius x functionem, quae 

 abeat in — Q, posito — x loco x. Unde loco Q subrogari possunt x, x^, x^ etc. x^^, si n numerus 

 impar et m par, etiam xYicc -^xx) et hujusmodi infinitae, quae facile determinantur. Est ergo 

 DO = a-^Q; sit PO = y, erit 



yy-^hh-v- 2hx -^xx = aa-\- 2aQ -\- QQ. Q. E. L 



