50 L, EULERI OPERA POSTHUMA. Mechanica. 



30. Ante omnia autom observari conveniet, si ternae coordinatae axibus OJ^ OB et OC inter 

 se normalibus parallelae fuerint OX = x, XY=y et FZ=z, atque distantia elementi Z a centro 

 ponatur OZ=v, ut sit (^c^ cccc-f-yj-t-zz, tum -^=^ exprimere cosinum anguli JOZ^ pari- 

 que modo esse — =cosBOZ et — = cos COZ. Hinc ergo ex angulis, quibus recta OZ ad ternos 

 axcs 0/f, OB et OC inclinatur, coordinatae his axibus parallelae ita exprimuntur, ut sit 



coordinata axi OJ parallela cc = f cos JOZ 

 « « OB « y = v cos BOZ 



« .0. OC « z = V cos COZ. 



31. Si autem situs ejusdem elementi ad aHos ternos axes quoscunque inter se normales et se 

 in eodem puncto decussantes referatur, per coordinatas yY, F, Z, quae his trihus axibas sint 

 parallelae, hae coordinatae ad illas cc, j, z semper ita erunt comparatae, ut sit 



X=aicr;-f-93r-H(5z, F= 2)a; -+- %-i-^z, Z = (Bx-^^y -^^z, 



ubi 3(, 23, 6, 3), (S, ^, @, «§, 3 sunt quantitates a situ posteriorum axium respectu prioriim pen-f 

 dentcs, uti ex elementis geomctriae constat, ubi de permutatione coordinatarum respectu aliorum 

 axium agitur. 



32. Ex iisdeni autcm elementis constat hos coefficientes ita a se invicem pendere, ut semper sit 



XX -^ FF-f- ZZ = XX -i- yy -*- zz = vv. 

 Ex quo substituendis pro X, F, Z valorlbus exhibitis necesse est sit: 



ai2t -+- 2)2) -*- ®® = 1 , S3S3-f-@@-ir^^ = i, 6(5-4-85^33=1, 



m-^-m-k-®^ = ^, a((s-+-2)g-t-®3 = o, «s-t-(sg-*-^3 = o, 



quarum aequationum ope sex harum quantitatum per reliquas tres definiri posSunt. 



33. Hinc autem vicissim obtinetur determinatio coordinatarum cc, j, z per alteras JY, F 

 et Z, hoc modo 



a; = 5(X-i-3)F-i-®Z, r = q3X-+-@F-*-§Z, z = 6Y-i-8F-+-3Z, 



unde porro sequentes horum coefficientium relationes colliguntur, quae quidcm jam in superioribus 

 contentae esse debent: ,,,-, > ■; . 



9(51 -i-93S3-f- ^(5 = 1, 2)2)H-($@-*-g5=i, @@ -+- jg^ -i- 33 = i , 



ai5)-4-Q3(s-f-(S5 = o, ai®H-«^-i-(S3 = o, 3)®-*- @^ -1-53 = 0. 



31^. His autcm omnibus conditionibus per tres angulos satisfieri potest. Assumtis enim tribus 

 angulis /), g, r, novem hi coefficientes ita definiri possunt, ut sit: 



3l = cos/), 93= sin/)cos^, 6= sinpsing, 



!D ==sin/) cosr, (E = — singsinr — cosp cos qcosr, ^ = -*-cosq sin r — cos/) sing cosr, 

 ® = sin/) sin r, ,§ = -i- sin 9 cosr — cosp cos q sin r, 3 = — ^os q cos r — cos/) sin q sin r, 

 cujusmodi autem anguli per has litteras /), q, r quovis casu exprimantur, mox videbimus. 





