91 .mr^\ X. EULERI OPERA POSTHIJMA. u «^^ Mechanicc 



itf! ' ds dx 



f V{xx ± hh) 



;!(!'>. ^!i'iiiMiJ.ri]iii^|'i<K{ iiiiti 



dont rintegrale prise par le moyen des logarithmes sera 



,lup -* '^-i-« = 9««»Jif inr.HBq , ilo? «b se^sliT 9id6Jin'j7 



' ' l^ , " • s^_j x-^V(xx±hh) ' 



(.; «niiojijoj Jfl' 



en ajoutant une coustante qui rende x = a, lorsque s = 0. •)iifa6UD dcoJ 



§ 21. On pourra donc, a 1'aide des logarithmes, trouyer s par x; mais comme Tarc s s< 

 decrit d'un mouvement uniforme, il conviendra mieux de determiner x par s. A cet effet, soit e 

 le nombre qui ait Tunite pour son logarithme hyperbolique, et lon aura en passant aux nombres: 



~y>x^V{xx:±:hh) = {a-+-fV^)e'^, ce qui donne a; = i («-+-/•]/ -)/Vi(a — f/-^)e""^ 



aprfes avoir restitu^ a la place de zb/iA sa valeur —jf — aa. Cette expression se construit aisemenl 

 par unc spirale logarithmique, decrite autour du pole et coupee par les rayons sous Tangle demi- 

 droit. Cette construction donnera en meme temps le chemin ^P que le corps parcourt de son vn 

 mouvement,, dont voici la construction: Soit (Fig. H4^) VFfVune telle spirale semi-rectangulaire passaul 

 par Je point F, et designant, comme par le passe, larc circulaire FiS^^, soit OV=Zy et ayanl 



V,(H!!,.;.if 1 ; ■ ;, . >< •■ t 



tir^ le rayon inuniment proche Osv, nous aurons Vu==i'u==dz et ds:f= dz:Zy ce qui donne 



^==^, lz=^ et enOn z = fe'=OV. 



-4-- ' r- j?noJ~ ^- 



Si de Tautre cote du point F, nous prenons FT=FS, nous aurons OiV =fe~'^^\ puis, portant Oh 



sur OX et coupant VX en deux partics egales au point F, ily aura 



VY=XY=^f{e'--^—e-'-q et OX-*- XY=OY==^f{^^-*-e-'^), 



Or nous avons trouve pour x la valeur sujvante , . r i i 'i . , 



.('AvruAiiCiTi ; r • ; .? j r ;:,u;o2 bi MnnMll) b'n)tlG h hv sfMrnaviiorti u» oii 



.K-^.fjJgoluI 107001«; ■ ii ^'►'V/iKnt «ito/r. zuon^tjp d<)iJ:i!o?. bI ilmifilo'» zu^jim luoM .0§ '^ 



d^^ou tiotts tirons cette cxpressron a; = y • OF-r^ V-^ • FF. 



xioiq pl ldqqobvi>L' . kjoI) iior'- .adut uh • 



Prenant done 0P==^^'0FT4-^|/=:^f^F^ le point P sera dans la courbe cherchce AP. Si la vitess 

 Ya etait ==0, la courbe serait perpendiculaire a OF aii point /7, et sa construction deviendrait plu 

 simple, car on naur.ut qua tircr par ^ uue droite paraliele a FY, et elle couperait le rayon (9i 

 au point cherche P. t/vnnu 



• '<' § 22. Passons a pi*esent a rautre cas, et supposons que la mnsse du tube s'evanouisse, de sorte 

 que Mkk soit = 0. Dans ce cas, il est dabord clair que, parce que le tube n'a aucune force a 

 opposer au mouvement du corps enferme, il lui obcira sans la moindre resistance, et par consequent, 

 le corps se mouvra, tout comme sii etait libre, cest a dire, il marchera dans une ligne droite 

 gardant toujours sa premiere vitesse. Cette consequence, quo:que d'elle-meme tres claire, ne se 

 d^duit poiut poiirtant si aisement des equationsf qUe nous avons trouvecs. Car, premierement posant 

 M=0, nous aurons ^ uoilf,i/p') 



