100 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Mechanica. 



solution du problemc propose: car a present nous n'avons plus que cinq quantites inconnues: x, yj 

 z, «, * a determiner. 



§ 32. Quoique ces trois equations que nous venons de trouver, soient differentielles du seconi 

 degr^, pourtant chacune ne contient que trois variables, et ce qui est principalement a remarquer 

 elles sont tout-a-fait semblables entre elles, et cette meme ressemblance nous ouvrira un chemii 

 pour parvenir a la solulion que nous cherchons. En considerant les trois equations differentiellei 

 du second degre qui sont: 



X ddx dudx ■,, y ddy dudy ■•■.■. % ddz dudz 



- X aax auax »» V aay auay ■.■.■, 



I. ^ = -r^ -*- ;r-r^ 5 H- -:;r = t^ -H ,?;— v^ J 111- 



ff ds^ '^uds'^ ' ff ds^ 2Md*2 * tf d«2 2Md»* 



il est dabord clair, que si nous avions la resolution de rune, nous ne manquerions pas de connaitn 

 les deux autres. Car supposons que la valeur de x nous soit connue, et Ton verra sans aucun< 

 difficulte, quon satisfera aux deux autres equations en prenant y et z ou egales a a?, ou en unc 

 raison constante a la meme x. Car posaut y = mx ct z — nx^ la seconde et la troisieme equation^ 

 se reduiront a la premiere. 



§ 33. Supposons donc y = mx et z = na3, et nous aurons 



uda?' mmudx^ , nnudx"^ 



P = -^' ^ = ~ds-~ = »'^P «* *' = -^=^^P'^ 



ce qui nous donne la solution d'un cas particulier du probleme propose. Gar ces rclations devai 

 subsister toujours, nous aurons, pour le commencement du mouvement, 



6 = /71«, c = na, ^ = mma et y^nna. J 



Or, parce que ")//? = mV« et yy=nVa, cette solulion se rapportera au cas ou les vitesses proprc 

 des corps enfermes dans le tube, "/«, V/? ct V/, sont proportionelles aux distances OA=ay OB=i 

 ct OC=c, c'est a dire, ou les chemins JP, BQ, CH que les corps decrivent, sont egalemcnt in 

 clines a la direction du tube OF. Si donc des le commcncement, de parcils mouvements ont 6t< 

 imprimes aux corps, le meme rapport subsistera toujours, et par consequcnt, les lignes AP, BQ, Cl 

 seront semblables entr'elles. Mais dans ce cas, Tequation VII se changera en celle-ci 



{Axx -4- mm Bxx -+- nn Cxx -+- Mkk) Vu = (Aaa -+- mm Baa -+- nn Caa h- Mkk) Yg , 



., , ,, ^. t/ lUkliyg-t-aa(A-t-mmB -i-nnC)Vg 



dou lon tire ya=— -^ '— A_?, 



Mkk -+- xx{A-t- mmB -t- nnC) 



et differentiant les logarithmes dw _ —'ixdx(A-^mmB-^nnC) 



2m Mkk -i-xx {A-t- mmB -+- nnC) 



Soit, pour abreger, A -\- mniB -+- nnC = J) , et la valeur 



du —'iDxdx 1 ... r 1 D- .• « ddx dudx 



5~ = »771 — 7r~ substjtuee dans I cquation -- = — -. -+- z—-^f 



2m Mkk-^Dxx ^ ff^ ds^ 'iuds^ 



j ird«2 ,, 'iDxdx^ 



donncra -— = dax — — — — - — 



ff Mkk -f- Dxx 



