148 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Mechanica. 



Soit mainlenant la section d'eau MN sollicitee par deux forces acceleratrices , lune P selon la 



direction JP, et l'autre Q, selon la direction PM; et par les principes de la mecanique on aura en 



prenant dt pour constant: 



2ddx = Pdt^ et 2ddy = Qdt'', 



,. „ 2ddx ^ 2ddj/ 



ou bien P = -j^ et Q = -^, 



ou il faut substituer les valeurs de ddx et ddfj qui leur conviennent en vertu de lequation 

 dt = —^y en supposant dt constant. De la on aura: 



1 ■" 

 zzvdds-t-2zvdzds — —zzdsdv = 



et lon sait quil y a 



dxddx -*- dyddy = dsdds. 



Or, ajant trouve ces deux forces acceleratrices P et Q^ on les r^duira aisement a deux autres, 

 dont Tune agit suivant la direction du tuyau Mm, et Tautre selon la direction perpendiculaire MN 



T •, Pdx-i-Qdy , ,, , Qdx — Pdy t\' - ... n ^ /-i. 



au tuyau. La premiere sera = , et lautre = • Dou remettant pour P ^i Q 



les valeurs trouvees, on aura: 



, r .ir . . I ■« 2da;ddar-H2di/ddu 2dd» 



la lorce acceleralrice selon Mm= r— r-? =-j:r 



dsdt^ dr 



et la force acceleratrice selon MN= — — ^"^ , ^ — -' 



dt* 



Le rayon de la developp^e etant pose = r, on sait que r = __ ? supposant la courbe 



concave vers Taxe. 



n • 11 2d2d* dsdv . p 11. 



Donc puisque ads = h-^ — > les tormes chercnees seront: 



4dz ds ds dv 



la force suivant Mm 



zdt^ vdt"^ 



2d<2 2^*» 



la force suivant MN= ,, — . 



rdt^ rz* 



Ce sont les forces acceleratrices, dont la section d'eau inOniment mince MN est sollicitee dans lin- 

 stant present, ou la vitesse de Teau dans la section j4B du luyau est supposee = Yv. 



2. CoroU. 1. La force acceleratrice —f qui vient d*etre trouvee pour la direction MN, 



etant negative, marque que Telement d'eau en est pousse suivant la direction NM, c'est a dire vers 



le centre du cercle osculateur de la courbe JM au point M. En effet, on voit que cette formule 



— j- exprime la force centrifuge qui convient a leau, en tant quelle est obligee de suivre dans son 



mouvement la courbure du tuyau. Car posant la vitesse veritable de Telement d'eau MN=yVt de 



sorle que V marque la hauteur due a cette vitesse, on aura yv = j=^—-f et partant ~= V: 



2F 



d'ou la force NM sera = — qui est, comme on sait, Texpression de la force centrifuge d'un corps 

 qui se meut dans un cercle dont le rayon = r avec la vitesse = yv. 



