202 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Asiron.mech. 



V2 1.-/2 1.3^2 1..3.5y2 



+- T^ ;;r -»- t-^ ^-♦- . o .^.^ =r-*- etC. 



2n— 1 4(2n — 3) 4.8(2n — 5) 4.8.12(2n — 7) 



Verum ad propositum revertentes, videamus hujusmodi curvam corpus B sit descripturum , et qua 

 lege per eam sit progressurum , ita ut ad datum quodvis tempus locus corporis assignari possit, 

 quod fit cnm distantiam AB =■ c, tum angulum EAB = (p pro tempore t definien lo. 



6i). Problema. Definire (fig. !76) naturam curvae EB^ quam corpus B motu suo ex A 

 spectato describit. 



SSolutio. Hic nuUo respectu ad tempus habito, tantum ad relationem inter distantiam AB= v 

 et angulura EAB = (p est spectandum, quae per angulum s ita definiuntur, ut sit ^ = 5-+-« et 

 v = - — Statuantur coordinatae AX=x, BX = y, erit w = £cx-t-rr et sc^^^cosff, 



l-i-ncoss ' •' ' •'•' '^ 



X . y ^ ., .. xcosa-¥-ysina , 



j = csm^, seu cos y = - ) sm ^ = — • Lum ergo sit s = cp — a, erit cos5 = > unae 



fit V -v^nx cos « -+- Aij sin a = f, ideoque 



vv = xx-i-yy = (f — nx cos « — ny sin «)*, 



f 

 unde patet curvam esse sectionem conicam, cujus natura et positio ex aequatione ^ = -. . _ 



facilius intelligitur. Ac primo quidem liquet, si sit /i = 0, ob v=f, curvam fore circulum centro 



A et radio = /* descriptum. Deinde si n sit numerus quicunque positivus, angulus (p = u dat 



minimam distantiam curvae a puncto A, quae est =~-^> ubi est (/('^O ob dv=- — - — ^ — ^* 



*^ ' *■ In-n (l-4-ncos(93 — «))♦ 



Simili modo sumendo (p — a=180", prodit alter locus, ubi recta AB ad curvam est normalis, 

 estque tum v = > unde patet si sit /i < i , curvam fore eilipsin; si n=\, parabolam, ac si 

 /i > 1 , hyperbolam. Tum vero quia distantia AB = v per coordinatas ratioualitcr exprimitur, punc- 



tum A in altero foco sectionis conicae est situm, cujus bini habenlur vertices, quorum alterius a 



f f 2/" 

 foco A distantia est =- f alterius =—J—i ita ut totus axis transversas sit =7 » ideonue 



In-n 1 — n 1 — nn * 



f nf 



ejus semissis =;; > unde focus a centro sectionis distat intervallo =-— — ; semiaxis ergo con- 1 



•^ 1 — nn 1 — nn ° ,:| 



f 



jugatus erit = y,._ — v> ideoque semiparameter =f. Axis denique transversus ad rectam fixam AE 

 inclinatur angulo =a, seu sumto EAB = a, is in rectam AB cadet. |j| 



70. Coroll. 1. Curva ergo a corpore B circa A descripta semper est sectio conica, et cum 

 sumto angulo (p = a, corpus B transeat per verticem foco A propiorem, post singulas revolutiones 

 completas, ubi ^ = «h-360*', «30 = a-i- 2.360*' etc. eodem revertitur, ita ut orbita haec quiescens 

 sit censenda. 



71. CoroU. 2. Cum valor numeri n speciem seclionis conicae ita determinet, ut /i = det 

 circulum, /i < 1 eUipsin, /i = 1 parabolam, et /i > 1 hyperbolam, idem intelllg-endum est, si n sit 

 numerus negativus. In genere enim idem numerus n, sive sit positivus, sive negativus, eandem 

 speciem declarat, quia scribendo 5-1-180" loco 5 alter casus ad alterum reducitur. 



72. Scholion. Praeter denominationes hic adhibitas notandae sunt sequentes ab Aslronomis | 

 receptae : 



i 



