2U 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Astron. mech. 



dg:> = dsfi 



3 (cc — aa) n (ce — aa) 



2/7" 



2/r 



coss 



et d,V2f3(M-^N) = ^^:J^^{i 



(3 — nn) (cc — aa) n (cc — aa) 



4/r 



2/7- 



coss > 



quarum illius integrale est 



V 



Gonst. -\- ( I 



3 (cc — aa)^ 



2/r . 



n (cc — aa) . 



2fr 



sin 5, 



altera vero, prout excentricitas n fuerit unitate vel minor vel major vel eidem aequalis, singulari 

 modo integrari debet, pro quo negotio ea in hanc formam transfundatur 



dtV2fg{M-^N) = „ ^" (i_^. ('-"")(;°-°) ^ (;p<-)<^ Y 



'^^ , ' (i -+- n cos s)-* \ Aff 2(i -»-ncos«)/ 



Jam vero casu /i < 1 supra ostendimus esse 



d$ i 



/a$ 

 1 H-n I 



et 



(i — nn) 



Arc . cos 



lizi.rn li 

 Arc.cos 



C0S5 ■/(! — nn) ""^'""^ 1 -I- n C08» 



./ (1 -*-nco8»)* 



1-Hncos» (i — nn)(i -t-ncos*)' 

 d« (2 -♦- cos «) sin « 



deinde casu, quo n=i, 



/• ds sin« /• ds 



i-f-cos» in-cosj J(i-Hcosa)* 3(i-Hco8»)^ 



Tum vero casu, quo /i > 1 , 



/ds 1 



1 -1- n cos » V(nn i) 



1 n -H cos« -H sin» y'(nn — 1) 

 log -. 5^ '-» 



/' ds n sin » 



(i -Hn cos»)* (nn — i) (i -i- n cos ») 



1 -♦- n cos» 



i 1 n-HCOs^-i-sin^y^nn — i) 



log. 



(nn — i)> 



Hinc ergo pro casu /i < 1 habebimus 



fy2/*^(MH-iV)=— ^Arc.cos 



n Hr- cos» 



1 -t-nco8» 



n/jrsias ' ni rilBiJ') loup « 



.inuin'-^-^^ li^'» 9i'piiu boi; 

 Tum vero pro casu 7i,= 1 



00 — 30. 



(i — nn)'^ 



3 (cc — aa) 



in-ncos» (i — nn) (i -t-ncos») 



Gi?.ib fi" 



Arc . cos 



n -+- cos » n{cc — aa) sin» 



4 /(1 — nn) *^ 1 H- n co8». 4 (1 -«- n cos») 



- 329 aid or.op ,Biin6J?Jb bou|= 



UM — j j ^/ckn / « * j«T\ ff(^-^ cos «) sin » (cc — aa) sin » 



:;a98 -- — « y 2f o (M-^N) = ^—z '-- — i- )— — -« 



1\ ' '^^ ' 3(i-t-cos»)2 2(i-^cos») 





.h; 



Ac' denique pro casu n > 1 



!Ulcir>q 



«l/2/jOM-HiV) = — 



n^sin » 



(vin — i) (i -H n cos s) ^ 



(nn — i)^ 



ff , n-i-cos»-Hsin»y(nn — i) 



log.- 



l-f- n C08» 



n(<ic — aa) sin» 3 (cc — aa) . n -*-cos» -4- sin»y (nn— 1) 



4(i-»-nco8») \V(jvn — \) ^* i -t-ncos» 



