Sur ies inegalttes dans le moiwemeni des planetes. 4-21 



« 



jugera la plus convenable pour le calcul. Or quoique le corps Q^ en tant qu'il repr^sente une 

 planete, soit sollicite par plusieurs forces, il s'en trouvera toujours une, dirigce selon QC et expri- 

 inee par une fonction de (c, par rapport h laquelle les autres soient tr6s petites; et c'est dans ce 

 cas que nos formules pourrout fournir des approximations assez propres pour nous reprcsenter le 

 vrai mouvement du corps. 



i^. Probleiiie 8. Le corps etant d'abord attire au point C par une force qui est recipro- 

 quement proporlionnelle aux carres de ses distances a ce point, et ensuite, par dautres 

 forces quelconques, tres petites a Tegard de la premiere, et situees dans le plan du mou- 

 vement du corps, trouver la nature de ce mouvement. 



Slolutioii. Posant, comme auparavant, la distance CQ — x et rangle ACQ = (pi soit la 



premiere force agissant selon QC^—i et, que les petites forces se reduisent a deux, P et Qy 



dont la premiere P soit dirigce vers QC, et Tautre Q vers QV, perpendiculaire a QC. Ainsi la 



iforce exprimee dans le probieme precedent par P, sera ici hP, et la force Q sera Q. Nous 



^anrons donc, comme auparavant, X= — fQx^dcp, et a cause de i = — » si nous posons 



Y= — /{Pdx -*- Qxdcp)j ce que F ctait ci-dessus, sera ici Y-i > X et F renfermant les con- 



stantes qui entrent dans le calcul par ces deux integrations. JVlais on voit que les parties variables 

 iTenfermees dans les lettres X tt Y seront fort petites, puisqu'elles resultcnt des petites forces 

 P et Q. Cela pose, nos deux equations difTerentielles, qui contiennent le mouvement du corps, 

 seront • 



dfp = et dx = — y{ Yxx -^ Ax — X) 



oii il faut remarquer, que si les petites forces P et (2 etaient =0, les quantites X et F seraient 

 constantes, et le corps decrirait une section conique autour du foyer C, selon Ics regles de Kepler. 

 On aurait donc, dans ce cas, 



X 



1 (J C08 V 



ou 6 marqucrait Ic demi-parametre de la section, g rexcentricite, et v Tanomalie vraie, ou I elonga- 

 lion de la plus haute abside. Gardons donc pour le cas propose la meme formule avec cctte diife- 

 rence, que les quantites 6 et ^ ne soient plus constantes, mais variables; et il est evident, que 

 leur variabilite dependra des forces P et Q. Soit donc 



X = 



1 — q cos V 



X par la nous inlroduisons, au lieu d'une variable x, trois nouvelles variables p, q el v, mais dont 

 leux seront detcrminees par celte condition, que la valcur de dx doit ctre exprim^e par une telle 

 ormule Zdtsmv, ou plutot par —Zdtsmv, parcc que depuis i'angle c=0, la distance x va en 

 iiminuant. Ayant donc 



dx = -y{Yxx^Ax-^X), ou dx = dtV[Y-^^'-'~) 



