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L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Yar 



13. Pour trouver ce point et Tarc LO, concevons baissees de sur les c6tes AL et BL des perpc 

 diculaires qui y tomberont au milieu, et de l^ en posant Tarc LO = z, on aura-. 



cos ALO = 



tang^/' 



donc: 



sin ALO = 



tang z 

 y(lang2z — tang2^/) 



et 



et 



cos BLO = 



lang J g 



smBLO=: 



tang z 



■/(tang 2« — tang 2 ^g) 



tang z tang z 



Or l'angle ALB etant donne par les trois cdtes AB = 2c, AL = f et BL = g, soit ALB = X, et nous aurons: 



cos A tang '^z = tang ^fiA»g {g — V^tang ^z — tang ' ^f) (tang *2 — tang * |^) ; 

 et 6tant rirrationalite, cette equation sera divisible par tang '^z, d'ou resulte: 



cos *A tang ^z — 2 cos X tang i /" tang ^ g^ = tang ^z — tang * if — tang ^ ^j, 

 et partant : sin *A tang ^z = tang '^ ^/"h- tang * ^^ — 2 cos A tang ^ ftang \g, 



de sorte que: tangz = -7— 5 V(tang*if-t-tang*igr — 2cos Atang ^ftang ^j). 



14.. Mnltiplions Tequation penullieme par co&^ \f co&^ \g, pour avoir: 

 cos ^2/^ cos ^^gfsin ^Atang*2 = sin'^/"cos *^^-*-cos ^^fsin ^^g — ^cosAsin Ifcos ^fsin |^ cos ^g. 

 Gette derniere partie k cause de: 



1 -+- cos g 



. 21^ 1 — cos /• 



cos * igf 



cos 



et: 



se reduit k: 



2 ' — =^' " 2 



sin jfcos 2/"= 2 sin/", sin ^3 cos ^g=\ sing, 

 I — ^ cos /■ cos flf — I cos A sin f sin j. 



2 , , I -♦- cos r . - , \—co»g 



rt . 1. 1 .., Af^nni 1 < co»2c — cos fcos . 1 . ^ 



Or en mtroduisant le troisieme cote AB = 2e, a cause de cosA= . ^ . -t cette partie devienf 



sin ^sin g "^ 



1 1 r 10 1 /■ 1 — co« 2c -2 

 I — ^ cos f cos ^ — ^ cos 2c -4- I cos fcosg = ^ = sin % 



d'oii nbus tirons: 

 donc: 



2 



cos * !/■ cos * ^g sin *A tang *.s = sin *c, 



sin e 

 tang z = 



cos 2 fcos {g siaA. 



Voili une simple formule pour le rayon du cercle circonscrit a un triangle spherique. 



sintf 



15. Ayant trouve: 



tang z = tang LO = 



cos ^^cos ^oisin >l 



on troHvera pour la position de rarc LO: 



.,-. sin ifcos iflsin>l nr^ cos ifsin io sin -? 



cos^lO= — — > cosBLO= . 



sin c sin e 



et moyennant la relation: 



cos 2c = cos f cos g -+- cos X sin f sin g, 



