Fragmentiim ex Adversariis mathematicis depromtum. 825 



SoLUTio. Ponatur doc -h- ads z= Sds , ut habeatur haec aequalio: 



udu -i-ds [S -i- bu -i- cuu) = 0. 



Haec aequatio fingatur integrabilis reddi, s\ dividatur per hanc formulam Aqq-i-Bqu-^ Cuu , ubi q designet 

 certam functionem ipsius s. Quare cum in genere formula Pdu~\-Qds integraiionem admitlat, si fuerit 



\ds) \duj^ 



pro nostro casu erit: 



S -»- 6m -4- cuu 



P=l ^ . et = 



Aqq^ -H Bqu -f- Cmm Jgg -+- Bgjt -f- Cm« 



Jam quia g supponitur functio ipsius s, ponatur dq=.rds, ac reperietur: 



/^\ — 'JAqru — Bruu . ( ^Q\ Abqq-^^iAcqqu — BSq-t-Bcquu — ^iCSu — Cbuu 



\dsj {Aqq -t- Bqu -+- Cmm)* ' " \d«y ', {Aqq -i- Bqu -i- Cuu)^ * 



Hinc igitjtir orietur ista aequatio: 



Abqq — BSq -+- 2Aqu (r -t- cq) — 2 CSu -i- Bcquu -t- Bruu — Cbuu = 0, 



quorum trium membrorum singula ad nihilum redigi debent. Ex primo fit: 



Abqq — BSq = (i, unde S = -^« 



B 



Secundum membrum dat 2Aqur -\-2Acqqu — 2CSu = Q, quae loco S subsliliito valore abit in: 



„ . o ^ 2^C6j - , Cb — Bcq 



ZAqr -^2Acqq — -? = 0, unde r = • 



B B 



Denique tertium membrum praebet Bcq -t- Br — Cb=0, unde ilerum prodit r= — -— — > qui anibo valores 



B 



dq 

 ipsius r cum sint inter se aequales, nihil amplius determinandum restat, quare cum r = — > habebitur 



dq Cb — Bcq ,. Bdq v ■ n C ^'^dq 



aq Vb — Bcq ,. - Bdq tt •• /• P Bcdq 



— = nmcque rfs = — -• Hincque lam fiet cs = I = t 



d$ B ^ Cb — Bcq i J '^ Jf>i^ gf,fj 



Cb — Bcq * •• JCb Bcq Cb — Bcq 



Quodsi jam velimus, ut sumto s = etiam q evanescat, esse debet A = CO, sicque habebitur: 



1 ^f> -j rt Cb , „ Cb{e" — U Cb .. _ „, 



ci = l—- — , ideoque e" = -- — > unde fi q = — ~-;.t— ^ = ^ ^ — « )• 



Cb — Bcq ' ^ Cb — Bcq ^ Bce^^ Bc ^ ' 



Valore autem ipsius q invento, erit 5 = -^-— — (1 — e""); quare cum sit: 



dx -4- adt = Sds , erit x = /Sds — as = ■ ( s -i e~^*) — as -i- Const. 



' -^ cBB \ e y 



' nde ut sumto « = fiat x = 0, fiet: 



ACbb ACbb ACbb f 1 _ ^ A 



Const. = -— „> consequenter .r=— — — as-\ — ^r^rlsH e )• 



ccBB ^ ccBB cBB \ c J 



; Hic ergo litterae A, B, C penitus arbitrio nostro relinquuntur; interim tainen patet, statui non posse ^ = 0; 

 tiim vero fieri debet Cb^Bcq, donec q certum valorem obtinuerit, in quo terminns scil. q maximum habet va- 

 l'»rem. Invento autem divisore Aqq -h- Bqu -\- Cuu integratio, aequationis nulla amplius laborat difticullate, «cil per 

 lo^arithmos et arcus circulares. 



L. Euleri Op. posibuma. T. II. , |()ij. 



IH 



