4 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Arithrmtica. 



i3. Cuin multipla ipsius a sint 2a, 3a, 4a, 5a, etc, inter ea primo non reperiuntur omnos 

 numeri ipso a minores, qui sunt 1, 2, 3,...(a — 1); totidemque non-multipla occurrent a quovis 

 multiplo usque ad sequens. 



ik. Si erg-o fuerit a numerus minor quam a, tum neque a neque hi numeri a-i-a, 2a-+-a, 

 3a-+-cf, 4a-*-«, etc. inter multipla ipsius a reperiuntur. 



15. Quia ob «<^a, est 2a — a minus quam 2a, simulque majus quam a, numerus 2a — « 

 non erit multiplum ipsius a, neque ullus horum numerorum a — a, 2a — «,3a — «, ka — «, etc. 

 inter multipla ipsius a continetur. 



16. Proposito ergo quocunque numero 6, qui non sit multiplum ipsius a, is vel ipso a erit 

 minor, vel ita superabit aliquod ejus multiplum, ut tamen minor sit multiplo sequcnte. 



17. Cum multipla binarii sint 2, 4, 6, 8, 10, etc. (ejus simplo non excluso), numeri reliqui 

 ab his unitate differunt. Simili modo ob ternarii multipla: 3, 6, 9, 12, 15, etc. reliqui uumeri 

 ab his vel unitate, vel binario distant. 



18. Duplum cujusque numeri a, scilicet 2a, est etiam multiplum binarii. Cum enim a sit 

 multitudo unitatum 1 -i- 1 -i- 1 -i- 1 etc. duplicatio ita repraesentetur 



a= l-i-l-i-lH-l-i- etc. 



a=l-i-l-i-lH-l-i- etc. 



unde additione prodit 2a = 2-i-2-i-2-4-2-i- etc. 



19. Vel cum numerus a sit multitudo unitatum, numcrus a duplicabitur sing-ulis unitatibus 

 bis sumendis, unde oritur multitudo binariorum. Ex quo patet duplum 2a toties continere bina- 

 rium, quoties a continet unitatem. 



20. Simili modo triplum 3a toties continebit ternarium, quoties ipse numcrus a continet uni- 

 tatem, eritque itaque 3a multiplum ternarii, quod etiam de omnibus multiplis est intelligendum. 



21. Index multipli vocatur numerus indicans , quoties multiplum in se contineat simplum, ita 

 index dupli est binarius, tripli ternarius, quadrupli quaternarius, etc. 



22. Si numerus a toties sumatur, quot numerus n continet unitates, multipli inde orti index 

 est 71, ipsum autem multiplum hoc ita exprimitur /la, ita ut na denotet multiplum ipsius a, cujus 

 index sit n. 



23. Tale ergo multiplum na ipsius a est etiam multiplum indicis n, quandoquidem toties in 

 se continet indicem, quoties ipse numerus a continet unitatem. 



2k: Hlnc ergo patet multiplum numeri a, cujus index sit n, congruere cum eo multiplo 

 numeri n, cujus index sit a; quare cum illud multiplum per na, hoc vero per an exprimatur, erit 

 na = an. 



25. Cum in quovis multiplo na tam numerus a, cujus multiplum sumitur, quam index multipii 

 n inter se permutari queant, hi duo numcri a et /i sine discrimine factores appellantur, multiplo 

 autem ipsi na nomen producti seu facti indi solet. 



26. Quemadmodum quisque numerus est multiplum unitatis, cujus ipse est index, ita. etiam est 

 sui ipsius simplum, indice exislente unitate. In posterum ergo tam multipla unitatis qiiam simpla 

 cujusque numcri a denominatione multiplorum segregabimus. 



