Tractatus de numerorum doctrina Cap. I. 5 



27. Multipla ergo nobis erunt ejusmodi numcri, qui cujuspiam numcri, praeter unitatcm, sunt 

 multipla (excluso simplo), constabunt ergo duobus factoribus, quorum alter aitcrius respectu tanquam 

 index spectari potest. 



28. Factum ergo a6, cujus factores sunt a et 6, est multiplum tam ipsius a quam ipsius 6. 

 Quatenus est multiplum ipsius a, index est 6, quatcnus autem est multiplum ipsius 6, index est a. 



29. Multipla hujus facti ab simul erunt multipla tara ipsius a, quam ipsius 6. Sit nab tale 

 multiplum, cujus indcx sit n, et quia etiam est multiplum ipsius /i, crit multiplum uniuscujusque 

 horum numerorum n, a et 6. 



30. Hinc patet etiam in facto ex tribus factoribus constante, tres factores intcr se esse permu- 

 tabilcs, atqu6 tale factum a6c non solum esse multiplum singulorum a, 6, c, scd ctiam factorum ex 

 binis ab, ac, bc. 



31. Si in seric numerorum 1, 2, 3, ^, 5, 6, 7, etc. omnia multipla deleantur, reliqui numeri 

 non erunt multipla ullius numcri (quandoquidem simpla excludimus), hique numeri vocantur simplices, 

 vel primi. 



32. Deletis scilicet multiplis binarii 4, 6, 8, 10, 12, etc. restat haec scries 1, 2, 3, 5, 7, 9, 

 11, 13, 15, 17, 19, 21, etc; hinc porro extinguantur muitipla ternarii 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc. 

 quae quidem adhuc adsunt, et restat 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc; ita relinquentur 

 tandem numeri primi 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 4^3, 47, 53, 59, ctc 



33. Si ergo p sit numerus primus, is neque inter mullipla binarii ncque intcr multipla cujus- 

 quam alius numeri occurrit, neque ergo hujusmodi facto ab ullo modo exhiberi potest, nisi sit vel 

 a= \ , vcl 6=1, quos aulem casus exclusimus (26). 



34. Omnes numeri, qui non sunt primi, vocantur compositi; undc patet omnes numeros com- 

 positos esse multipla aliorum numerorum minorum, qui cum iterum sint primi, vel multipla aliorum 

 denuo minorum, multipla autem cujusvis producti sint simul multipla singulorum ejus factorum, 

 sequilur omnes numeros compositos tandem reduci ad multipla numerorum primorum. 



35. Omnis ^rgo numerus est vel primus, vel multiplum cujuspiam numeri primi; quo posteriori 

 casu cum numerus sit compositus, omnis numerus compositus exhiberi potest producto, cujus singuli 

 factores sint numeri primi. 



36. Intcr numeros compositos primum occurrunt ii, qui constant duobus tantum factoribus 

 primis. Veluti si p ct q denotent duos numeros primos quoscunque, productum pq in genere exhi- 

 bebit ejusmodi numeros compositos primae speciei, qui duobus tantum constant factoribus primis. 



37. Talis ergo numerus compositus pq erit tam multiplum numeri q, indice existente />, quam 

 multiplum ipsius p, indice existente q, neque vero ullius alius numeri erit multiplum. Si enim esset 

 multiplum alius cujuspiam numeri a, indice exislente 6, hi numeri a et 6 ejus essent factores, 

 contra hypothesin. 



38. Hujusmodi autem productum pa, cujus quidem factor p est primus, alter vero a com- 

 positus, factores habens «, /?, 7, etc, uon solum erit multiplum numerorum p et a, sed etiam inter 

 multipla numerorum a, /?, y, etc occurret. 



