10 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthn^tica. 



VII. pqrst triginta duo: i, p, q, r, s, t, pq, pr, ps, pt, qr, qs, qt, rs, rt, st, pqr, 



pqs, pqt, prs, prt, pst, qrs, qrt, qst, rst, pqrs, pqrt, pqst, 

 prst, qrst, pqrst. 



72. Simili modo reliquarum classium species constituentur, singularumque specierum divisores 

 omnes assig-nabuntur. Simul autcm hac ratione patebit natura singulorum divisorum, atque tam 

 classls quam species, quorsum sing-uli sunt rcferendi. 



73. Si numeri N divisores sint: 1, «, ,8, y , d,...N, isque multiplicetur per numerum pri- 

 mum p, qui in eo nondum contineatur, tum productum Np praeter illos divisores \ , a, ^, y, d,. . .N 

 insuper eosdem pcr /) multiplicatos p, ccp, /3p, yp, dp. . .Np pro divisoribus habebit, ideoque numerus 

 divisorum duplo erit major. 



74. At si ille numerus iV per quadratum numeri primi p, qui in ipso non insit tanquam factor, 

 multiplicelur, numerus divisorum triplicabitur. Primo enim productum iVp* eosdem habebit divisores 

 quos numerus N, tum vero eosdem per p multiplicatos, ac tertio eosdem per p"^ multiplicatos. 



75. Simili modo si p sit numerus primus in N non contentus, numerusque N per p^ multi- 

 plicetur, productum Np^ habebit primo omnes divisores uumeri N, deinde eosdem per p, porro 

 eosdem per jd^, ac denique eosdem per p^ multiplicatos , quo pacto multitudo divisorum producti 

 Np^ quadrupio major est quara numeri N. 



76. Atque in g^cnere si numeri N multitudo divisorum sit —m, isque per potestatem p^ 

 numeri primi p multiplicetur, producti Np^ multitudo divisorum erit (A -h 1) m; ubi notasse juvabit 

 ipsius potestatis p'^' multitudinem divisorum esse X-i- \. 



77. Hinc patet regula facilis multitudinem divisorum cujuscunque numeri definiendi: Sit enim 

 p q^^r^s^ forma numeri propositi; et quia numeri p'^ multitudo divisorum cst A-i-1, erit numeri 

 p^^q^ multitudo divisorum (A-i-1) (^ -f- 1), hujus vero numeri p^^q^r^ erit 



(A H- 1) (//. -t-1) (*/-*- 1), porroque hujus p^q^r^s^ erit (A -h 1) (^-+-1) {v -i- i) (^-h1). 



Classis autcm, ad quam hic numcrus est rcferendus, indicatur numero X-^ f.i -v-v -^ ^, qui est 

 summa exponentium. 



78. Infiniti ergo numeri exhibcri possunt, quorum multitudo divisorum sit data. Si enim 

 multitudo divisorum sit —a, existente a numero primo, numeri quaesiti in hac forma p"~^ con- 

 tinentur, denotante p numerum primum quemcunque. 



79. Si rt, ^, c, d, etc. denotent numeros primos, pariter ac litterae p, q, r, s, etc, numerl, 

 quorum multitudo divisorum est ab, sunt vel p"^'~~\ vel />""~^g^~^ quorum autem multitudo 

 divisorum est abc, ii sunt vel p"^"-', vel f^-^ q'-\ vel p"'-^ q^-' , \e\ p^"-^q"-\ vel 

 P'~ q^~^r''~'^, ubi littcrae a, b, c, etc. eundem quoque numerum primum significare possunt, 

 dummodo litterae p, q, r, etc. significent diversos. 



80. Hinc si multiludo divisorum sit =2, soli numeri primi satisfaciunt, seu numeri in hac 

 forma p contenti. Tum vero si fuerit 



