12 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Arithmetica. 



in eo non contentum, et productum Np praeter illos divisores insuper eosdem, per p multiplicatos, 

 habebit, quorum ergo summa erit pfN, unde colligitur fore /TVjp = (p -»- \)/N = fpfN. 



87. Eodem modo ex § Ik colligitur, si numerus N per quadratum numeri primi p, in ipso 

 non contenti, multiplicetur, producti Np^ summam divisorum fore 



(1 -i-jo -!-/>'') yTV, seu fNp" ^fNfp"^; eodemque modo fore fNp^=fN.fp^ 

 et ita porro. 



88. Hinc pro singulis classibus et speciebus, divisorum summae ita exprimentur 



s) 



89. Ex his formulis deducimus sequentes conclusiones 



.//>^ = p' -1-//) = 1 -H pfp 



fp^=p^ -^-fp" = 1 -t-/>/p' = 1 -^p-*-pYp 



fp^ = 1 -\-pfp'^ = 1 H-/) -*- />V/>^ = 1 -+-/) H-/)^ - 

 fp' = \ ^pfp'=i-^p 



/)Y//=l-4-p 



etc. 



-pVp 



pVp'=i 



pVp 



unde patet esse in genere 



P' 



pVf 



etc. 



1-i-P-4-/)Yp"-^=1-hj 



90. Proposito ergo numero N, cujus summam divisorum assignare oporteat, resolvatur is in 

 suos faclores primos, sitque 



N^p^qf^r^s^, quo facto erit fN=fpKfq^.fr\fs^. 



91. Dummodo ergo tam numcrorum primorum ipsorum, quam eorum potestatum summae 

 divisorum assignari queant, omnium plane numerorum summae divisorum definiri poterunt. 



92. Pro ipsis numeris primis /), cum sit fp=p-h- 1, summa divisorum semper erit numerus 

 par, nisi sit /) = 2, quo casu est f2 = 3. Si enim sit p = 2a — i, erit f[2a — l) = 2a. At ob 

 y7)'^=/)'^-+-/)-4-l , summa divisorum quadrati cujusvis numeri primi semper erit numerus impar, ac 

 subinde adeo numerus primus, veluti ^2"^ = !^ ys^^^lS, y5* = 31. 



