Tractatus de numerorum doclrina Cap. 3. 13 



93. Deinde si N sit cubus numcri primi, seu 



N = p\ erit /p' =!-*-/> -+-/>/>-*-/)' = (1 -t- />) (1-Hpp), 

 ideoque numerus compositus, ac nisi sit p = 2, ad minimum erit summa divisorum divisibilis per k-^ 

 quia ulerque factor i -*- p et !-<-/>/> est par. Erit ergo /p^= (1 -^pp) fp. 



9i. Si numerus N sit potestas quarta numeri primi, seu N = p*, erit summa divisorum 

 /p* = 1 -*-/)-+- />/)-!- />'-!-//, idcoque scmper impar, fierique adeo poterit, ut ea sit numerus primus, 

 veluti/2* = 31. 



95. Si sit iV = /)% quia est //>*= 1 -4-/) -*-/)/>-+-/)'-»-/)* -4-/)*, erit summa divisorum 



/p'={^-+-p-*-PP) (*-*-P^; = (!-*-/>) (1-^- />-*-/>/>) (i—/>-fr- />/>). 

 ideoque numerus compositus, qui ex summis inferiorum potestatum ita componitur, ut sit 



/p' = {i-p-^pp)/p./p\ 



96. Proposito autem producto 31N, cujus factores M et N nullum habeant factorem primum 

 communem, erit /MN =/M./N , quae ergo summa divisorum eo magis erit composita, quo plures 

 numeri primi dispares iugrediantur. 



97. Proposito numero quocunque iV, cujus summa divisorum sit/iV, si is per numerum primum 

 p multiplicetur, summa divisorum producti Np sempcr major est quam p/N. Nam /Np primum 

 complectitur omnes divisores numeri N per p multiplicatos, quorum summa est p/N, ac praeterea 

 etiam eos divisores numeri N , qui per p non sunt affecti. 



98. Hoc etiam ita bipartito ostcnditur. Primo si numerus primus p non contineatur in N, 

 erit utique /Np=/p./N={i-t-p)/N=p/N-+-/Ny quo casu sine dubio est /Np^p/N. 



99. At si p jam contineatur in N, ut sit N=Mp", ent/N=/M. /p"-, sed/Np=/M /p"~*~^. 

 Ex superioribus vero constat esse //)""*"' = l-i-/)/p", unde colligitur/i\^=/M-i-/)//)"/M, ita ut 

 s\t /Np=p/N-^/M, idcoque /iV/) > /)/iV. 



100. Numerorum naturali ordine progredicntium summae divisorum ita se habebunt: 

 /t= I /id=\\ /25 = 31 /37= 38 /4^9= 57 

 / 2= 3 /^ = 2^1- /26 = 4^2 /38= 60 /50= 93 

 f 2= k /\^ = 2k /27 = ^0 /39= 56 /51= 72 

 / h= 1 /16 = 31 /28 = 56 /^^0= 90 /52= 98 

 /5= 6 /17=18 /29 = 30 /M = *2 /53= 54 

 /6=12 /18=39 /30 = 72 /^^2= 96 /5!t = 120 

 /7= 8 /19 = 20 /31 = 32 /^3 = hk /55= 72 

 /8 = 15 /20 = 42 /32 = 63 /44= 84 /56=120 

 /9=13 /21=32 /33 = 48 /45= 78 /57= 80 

 /10 = 18 /22 = 36 /34 = 54 /46= 72 /58= 90 

 /11 = 12 /23 = 24 /35 = 48 /47= 48 /59= 60 

 /12 = 28 /24 = 60 /36 = 91 /48=124 /60=168. 



101. Inter has divisorum summas non omnes occurrunt numeri, sed usque ad GO excluduntur 

 sequentes : 



