U L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anthmetica. 



2, 5, 9, 10, 11. 16, 17, 19, 21, 22,23, 25, 26, 27, 29, 33, 3^1^, 35, 37, ^l, W, *5, 46, 47, 



49, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 59. 

 Numeri autem, qui summas divisorum exprimunt, sunt: 

 1, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 31, a2, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 48, 54, 



56, 57, 60. 



102. Hinc patet duos pluresve numeros quandoque eandem divisorum summam praebere, veluti 



/ 6 =/11 = 12 /14 =/15 =/23 = 24 



/10 =/17 =18 /20 =/26 =/41 = 42 



/16 =/25 = 31 /33 =/35 =/47 = 48 



/21 =/31 = 32 /24 =/38 =/59 = 60. 



/34 =/53 = 54 

 /28 =/39 = 56 



103. Problema hic proponi solet, quo quaeritur numerus, qui ad summam divisorum suorum 

 liabeat datam rationem: scilicet ut sit iV:/iV= /i : m, sive ^ = — ? ubi quidem primo necesse est 



ut sit m > 71 ; si enira esset m = /i , foret iV = 1 . 



104. Ratione m'.n in minimis terminis expressa, numerus N vel ipsi /i, vel cuipiam ejus mul- 

 tiplo aequalis erit. Statuatur erg;o N=an, eritque fN=fan=:^am. At nisi sit a=l, est 

 fan >> afn, hinque m '^fn. Quocirca si fuerit m <<.fn, nulla solutio locum habet, sin autem 

 m—fn, unica datur solutio, scilicet N=n. 



105. IVisi ergo sit vel m=fn, vel m^^fn, problema solutionem non admittit. Priori qui- 

 dem casu numerus quaesitus jV ipsi n aequabitur, neque praeterea ulla alia dabitur solutio. Posteriori 

 vero casu, quo m^^fn, numerus N aequabitur multiplo cuipiam ipsius /i, puta N=any siquidem 

 alla solutio locum habet. Dantur enim utique ejusmodi rationes m:n, quibus nequaquam satisfieri 

 potest, etiamsi sit m^^fn. 



106. Numerus perfectus est, cujus summa divisorum ipso duplo est major. Ita si fuerit 

 fN=2N, erit N numerus perfectus. Qui si sit par, erit hujusmodi 2''J, existente J numero 

 impari , sive primo , sive composito. Cum erg-o sit 



N=2"J, erit /A^=(2"-^^— l)/// = 2''-^^^, unde fit "^ = ^tS^^ • 



107. Quia hujus fractionis _,_^ — -- numerator unitate tantum superat denominatorem, excedere 

 nequit summam divisorum denominatoris; erit erg-o vel aequalis, vel minor. Posteriori casu nulla 

 datur solutio, prior vero existere nequit, nisi sit 2"~*~* — 1 numerus primus. Quare quoties 

 2""^^ — 1 fuerit mimerus primus, ei^aequalis capi debet, eritque numerus perfectus =2" (2"-^^ — 1). 



108. Omnes erg;o numeri perfecti pares in hac formula 2" (2"^^ — 1) continentur, siquidem 

 2""*-* — 1 fuerit numerus primus, quod quidem evenire nequit nisi n-\- \ sit numerus primus; 

 etiamsi non omnes primi pro /i -+- 1 assumti praebeant 2""^* — 1 primum. Utrum vero praeter hos 

 numeros perfectos pares, dentur quoque impares, nec ne? nemo adhuc demonstravit. 



109. Si daretur numerus perfectus impar, omnes ejus factores impares sint necesse est. Sit 

 erg:o = ABCD etc. oportetque fieri f A . f B . fC . fD=2 ABCD numero impariter pari. Quare inter 



