Tractatus de numerorum doctrina Cap. i. 15 



summas divisoraDi f A^ fB^ fC^ fJ) unica debet esse impariter par, reliquae omnos impares: omnes 

 ergo factores A^ B, C, Z>, praeter unum, erunt polestates pares numcrorum primorum, unus autem 

 ille vel numerus primus formae kn-^i^ vcl cjusdem potestas, cujus exponens sit K'k-+-i. Sicque 

 talis numerus perfectus hujusmodi habebit formam (A^/i -+- 1)*^"*"* PP, existente P namero impari, 

 et kn-\- i primo. 



110. Plurima alia problemata huc referenda, quibus alia proponitur relatio inter numeros inve- 

 stigandos eorumque summas divisorum hic praetermitto, quoniam ex traditis principiis methodus ea 

 solvendi non difficulter elicitur. 



Caput IV. 



De numeris inter se primis et compositis. 



111. Duo nuraeri, qui praeter unitatem nuUum ahum habcnt factorem seu divisorem communem, 

 vocantur numeri primi inter se; qui autem praeter unitatem alium habent divisorem communem, 

 vocantur compositi inter se. Ita 8 et 15 sunt numeri inter se primi, at 9 et 15 numeri inter se 

 compositi. 



112. Unitas ergo est ad omnes numeros primus. Scilicet denotante n numerum quemcunque, 

 numeri 1 et n sunt numeri primi inter se, quia praeter unitatem nuUum alium admittunt divisorem 

 communem. 



113. Pari modo duo numeri unitate differentes /i et /i-t- 1 sunt primi inter se; quoscunque 

 enim divisores habuerit numerus n, nullus eorum dividere potest numerum 7i-+- 1. Namque si p sit 

 divisor numeri n, numerus proxime major per p divisibilis erit n-^-p^ neque vero n-\- 1 divisionem 

 per p admittet. 



ll^. Numerus primus /) ad omnes numeros, nisi qui ejus sunt multipla, est primus; hinc 

 numeri a et p sunt primi inter se, nisi sit vel (i=p, vel a = np. Ergo numerus primus /) ad omnes 

 numeros se minores est primus. 



115. Multitudo numerorum, dato numero a minorum, est a — 1, inter quos quot sint ad a vel 

 primi, vel compositi, operae pretium est definire; quoniam inde judicium ad omnes numeros ipso a 

 majores facile extenditur. 



116. Sit enim b<ia, ac si 6 et a fuerint primi inler se, etiam omnes hi numeri 6 -+- a, 

 b-^2a, 6-*-3a, etc. ad a erunt primi ; ac si 6 et a habucrint communem divisorem, idem erit 

 divisor numerorum b-i-a, b-\-2a, etc. 



117. Si ergo a sit numerus primus =p, quia omnes numeri ipso minores ad eum sunt primi, 

 horum multitudo est =p — 1 . 



118. Si sit a = 2/), ab 1 ad a dantur p numeri pares, qui ergo ad a non sunt primi, deinde 

 ipse numerus /) ad a etiam non est primus. Auferantur hi a numeris omnibus ab 1 usque ad a, 

 quorum multitudo est =/), ac relinquentur p — 1, totidemque ad a erunt primi. 



119. Si sit a = 3/), inter numeros ipso non majores primum ii, qui sunt per 3 divisibiles, ad 

 cum non sunt primi, quorum mullitudo est =p, deinde insuper p et 2/) ad a non sunt primi; 

 reliqui, quorum multitudo est 3/) — p — 2 = 2 (/) — !), omnes ad a = 3/) erunt primi. 



