16 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Ariihmetica. 



120. Simili modo si a = 5p, numeri, qui cum a communem habent divisorem, sunt primo 

 omnes per 5 divisibiles, quorum multitudo est =/), ac praeterea qui per p sunt divlsibiles, nempe 

 p, 2p, 3p et kp; ipse enim numerus 5/) jam antc est notatus: unde multitudo numerorum ad a 

 compositorum est p-^k, ideoque multitudo numerorum ad a primorum = kp — 4- = 4- (/> — 1), 

 qui scilicet ipso a non sunt majores. 



121. Generalius si sit a=pq, existente utroque factore p et q primo, ab unitate ad a dantur 

 p numeri per q divisibiles, scilicet q, 2g, 3q. . .pq; deinde dantur q numeri per p divisibiles, scilicet 

 p, 2p, 3p,. . .qp, quorum ultimus qp jam est numeratus. Multitudo ergo omnium numerorum a non 

 superantium, qui ad a sunt compositi, erit =p-\-q — 1, uude reliqui, quorum multitudo est 



= qp — p — q-^ i = {P — '^) {q — i)> 

 ad a erunt primi. 



122. Hic autem pro p et q numeros primos diversos sumsimus. IVam si esset a=pp, alii 

 numeri ad a non essent compositi, nisi qui sunt per p divi^iles, quorum multitudo cum sit = p, 

 reliquorum, qui ad a sunt primi, multitudo erit = pp — P=P {p — !)• 



123. Simili modo si sit a = p^, quia alium divisorem priuium praeter p non habet, omnes 

 numeri ab 1 ad «, ad a compositi sunt p, 2p , 3/).. . p^p, quorum multitudo cum sit /)^, reliqui 

 numeri omnes, quorum multitudo est p^ — p"^ = p"^ (p — 1), ad a erunt primi. 



12^. Ilinc in genere patet, si a fuerit potestas quaecunque p" numeri primi p, multitudinem 

 numerorum ad a primorum^ qui quidem ipso a non sint majores, fore =p''~^ (jo — 1). 



125. Sit a^p^^q, existentibus p et q numeris primis diversis, et cum a alios non habeat 

 divisores primos praeter p et q, numeri ad a compositi vel erunt per /) divisibiles, qui sunt 

 p, 2p, 3/). . .pq.p, multitudine =pq, vel per q divisibiles, qui suntg, 2q, 2q,. . .p^.q multitudine 

 = /)^. Inter hos vero occurunt, qui ibi jam sunt numeratipg, 2pq, dpq. . .p .pq multitudine = p^ 

 ita ut multitudo omnium ad a compositorum sit = pq -t- p^ — p. Quare reliqui, quorum multitudo 

 est =ppq — pq — PP -*- P = P (p — I) (9 — 1)> omnes ad a erunt primi. 



126. Sit a =pqr, existentibus p, q, f numeris primis diversis, ac numeri ad a compositi 

 sunt divisibiles 



1) per />, scilicet p, 2p, 3p. . .qr.p multitudine qr 



2) per q, « q, 2q, 3q. . .pr . q « pr 



3) per r, « r, 2r, 3r. . .pq.r « pq. 



Ilic autem bis numerantur divisibiles per pq multitudine /•, tum divisibiles per pr multitudine q, 

 ac denique divisibiles per qr multitudine p, qui inde auferantur; at hoc modo numerus ipse pqr 

 penitus tolleretur, qui ergo iterum est adjiciendus. Sicque multitudo numerorum ad a compositorum 

 erit qr-^pr-+-pq — r — q — /> -+- 1 j unde reh*qui, quorum multitudo est 



pqr -" qr — pr ^ pq -^ r'-i- q -^ p — 1 = (/) — 1) (^ — 1) (r -^ 1), 

 ad numerum a=pqr erunt primi. 



127. Ex his coUigetur pro omnibus numerorum generibus fore 



