Tractatus de mmerorum doctrma Cap. \, 17 



si fiit numcrus mullitudinem numerorum ipso a rainorum 



propositus ad eumque primorum 



a=p p — i 



a=pq ip—i) iq- 1) 



« = />' />'(/> -1) 



a=p^q p(p^ i)(q^i) 



a=pqr (/>—!) (7— i) {r - i) 



• « = />* />'(P-1) 



«=/>'? />'(/>— 1) (9—0 



«=/>Y /> (/> — ^9(9 — 



a = p^qr />(/>—*) (9—1) (^—i) 



«=/>9''* (/)-!) (g—i) (r—1) (5-1) 



128. Quo autem haec conclusio firmius corroboretur neque inductioni nimium indulg-eatur, 

 consideremus banc formam a= 3Ip, ubi M sit numerus quicunque, et p primus in Mnon contentus. 

 Ponamus autem ad 1 ab M multitudinem numerorum ad J/primorum esse = ^, ideoque multitudinem 

 numerorum ad M compositorum =M — /u. 



129. Cum ergo ab 1 ad M sint M — ^ numeri compositi ad M, ab 1 ad Mp erunt p{M — ju) 

 numeri compositi ad M, qui ergo etiam erunt compositi ad Mp, sed praeterea ad Mp compositi sunt 

 isti : /), 2/), ^p. . .Mpj multitudine M, unde autem expungendi sunt ii, qui jam ad M sunt compositi, 

 quorum multitudo est M — ju; sicque tantum relinquentur ju numeri, qui tautum ad Mp^ non vero 

 ad M sunt compositi. Quare ab 1 ad Mp omnino ad Mp compositi erunt tot: p {M - ju) ~i- /u, et 

 reliqui, quorum multitudo est Mp — p {M — ju) — /u = ju {p — 1), ad numerum Mp erunt primi. 



130. Simili modo ostenditur, si numerus propositus sit = Mp^, existente p numero primo in 

 M non contento, atque ju fuerit multitudo numerorum ad M primorum, qui quidem inter limites 

 1 et M conlineantur, tum multitudinem omnium numerorum infra Mp", ad hunc ipsum numerum 

 Mp" primorum, fore ^p'^^^ jLi{p — 1). 



131. Quaeramus enim numeros compositos ad iMp", qui vel ad M, vel ad p erunt compositi. 

 At ab 1 ad Mp" multitudo numerorum ad M compositorum est =p^{M — f^), qui vero ad p sunt 

 compositi erunt: p, 2p, 3p. . .Mp"~^ .p, multitudine =Mp"~\ Hinc autem excludi oportet eos, 

 qui jam ad M sunt compositi, quorum multitudo est p"~* (M — /u): sicque multitudo eorum, qui 

 ad Mp", non vcro ad M sunt compositi, erit = Mp"~^ — p"~^ {M — ju) = p^^^^ju, undc omnino 

 ab 1 ad 31p^' multitudo numerorum ad Mp"* compositorum est =p"(M — ju) -t- p"'~ ^ ju. Quocirca 

 reliqui, quorum multitudo est Mp" — p"{M—/u) — p""-^ ju^p"—^ ju{p — 1) erunt ad %" primi. 



132. Cum ergo multitudo numerorum ad p" primorum ipsoque minorum sit =p"~^(p — 1), 

 ex praecedente propositione summo rigore concludimus: Si numerus propositus sit =p'^q"r^s'' etc. 

 fore multitudinem omnium numcrorum ad eum primorum ipsoque minorum 



=.p^—^(p-^i),(f-'{q~~i).r''-'{r—i).s^-'{s—i) etc. 



L. E a le ri Op. posthama. T. I. v 



