18 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmetica. 



133. Si igitur M et N fuerint numeri inter se primi, atque multitudo numerorum ab 1 ad M, 

 primorum ad M, sit = m , multitudo vero numerorum ab 1 ad iV, primorum ad N, sit = n , tum 

 multiludo numerorum ad productum MN primorum ipsoque non majorum, erit =mn. 



idk. Flinc patet multitudinem omnium numerorum primorum, quemadmodum jam Euclides 

 demonstravit , finitam esse non posse. Si enim ultimus et maximus numerus primus esset =p, 

 statuatur numerus M aequalis producto omnium numerorum primorum M=2.3.5.T . . .p, qui ergo 

 ad omnes plane numeros esset compositus : cum igitur idem numerus M ad M — 1 , vel M-+- 1 certe 

 sit primus, patet assertionem esse absurdam. 



135. Ex superioribus autem patet, inter numeros ipso M minores non solum numerum M — 1, 

 sed etiam plures alios ad M certe esse primos, cum multitudo horum numerorum ad M primorum 

 sit = 1 .2.^.6. . .(p — 1), quae eo est major, quo plures numeri primi in se invicem multiplicentur. 



136. Ponamus m= i ,2.k^.Q. . .{p — 1), existente M = 2.3.5 .7 . . .p; et cum ab 1 ad M 

 tot sint numeri ad M primi, quot m continet unitates, hi vel ipsi erunt primi, vel compositi ex 

 primis, qui sint ipso p majores. 



137. Si ab 1 ad M fuerint m numeri ad M primi, ab 1 ad 2 M erunt 2m numeri ad Mprimi, 

 et in genere ab 1 ad NM erunt Nm numeri ad M primi. In quovis enim intervallo 



1...M, M-+-1...2M, 2M-H1...3M, 3M-Hl...*i»/, etc. 

 multitudo numerorum ad M primorum est eadem. 



138. Si N designet alium numerum quemcunque, atque ab 1 ad iV fuerint n numeri ad N 

 primi , ab 1 ad MN erunt Mn numeri ad N primi. At ia eodem intervallo sunt Nm numeri ad M 

 primi. Qui autem sunt primi ad MN, ii quoque sunt primi tam ad M quam ad N. 



139. Ante autem ostendimus, si hi numeri M et N fuerint primi inter se, tum in intervallo 

 i....MNtot dari numeros ad MiV primos, quot mn contineat unitates; hique numeri in utraque 

 praecedente multitudine Mn et Nm occurrunt. (*) 



Caput V. 



De residuis ex divisione natis. 



lltO. Si numerus a non sit multiplum numeri 6, divisio illius per hunc non succedit, et 

 excessus numeri a supra multiplum ipsius 6 proxime minus vocatur residuum ex divisione ortum. 

 Ita st sit a = mb-t-r, erit r residuum ex divisione numeri a per b natum. 



(*) Notae IU. Auctoris margini adscriptae. De maximo communi divisore ejusque inventione. — Si A et B sint 

 numeri primi, inveniri potest multiplum ipsius A, quod per B divisum relinquat datum numerum C. — 

 Qui numeri inter se fuerint primi, eorum potestates quaecunquo inter se erunt primi. — Si ^l sit primus 

 ad B, atque etiam ad C, erit quoque ad BC primus. — Si productum AB sit divisibile per primum p, 

 alteruter factor per eum erit divisibilis. — Si A et B sint primi inter se, inveniri possunt numeri m et 

 n, ut fiat mA — nB=i , vel alii cuivis numero dato. — Si sit <p maximus communis factor numerorum 

 A et B, tum A.et ~ erunt primi inter se. — ^ Si a per b divisum det residuum r, tum na per nb divisum 

 dabit residuum nr. — Si a per b divisum det residuum r, communis factor numerorum a et b, s\ quem 

 habent praeter unitatem, simul erit factor residui r. Vicissim, sib etr habeant communem factorem, 

 idem quoque faclor erit ipsius a. — Si a et b sint numeri inter se primi et a>6, erit a=mb^p; et 

 fc^p, tum vero 6=np-*-g et p^^q, sicque tandem ad unitatem pervenietur. 



