Iractatus de numerorum doctrina Cap. 5. 19 



i^-i. Ilinc patet residuum r semper minus esse numero 6 seu divisore; si enim esset aequale, 

 seu r==b, aucto indice multipli m unitate, foret a verum multiplum ipsius 6, sciiicet a = (/nH- i)6; 

 et si esset r> 6, augendo indicem m reduceretur infra 6. 



i^2. Proposito erg:o divisore quocunque 6, si dividendus a fuerit multiplum ipsius 6, residuum 

 erit = 0; sin antcm a non fuerit multiplum ipsius 6, residuum erit vel i, vel 2, vel 3, vel quicunque 

 alius numerus minor quam 6, ita ut multitudo residuorum, quae oriri possunt, sit 6 — i, vel adeo 

 6, si cyplira simul numeretur. 



i43. Pro quovis ergo divisore b omnes numeri in tot classes distribui possunt, quot b continet 

 unitates. Prima nempe classis continebit omnes numeros multiplos ipsius 6, seu formae mb; secunda 

 eos, qui per 6 divisi pro residuo relinquunt i, tertia eos, qui 2, quarta eos, qui 3, et denique 

 ultima, qui relinquunt 6 — 1. 



ikk. Ita sumto 2 pro divisore, duae habentur classes, quarum prima continet numeros formae 

 2/w, altera vero numeros formae 2m-f-i, INumeri prioris classis vocantur pareSy posterioris vero 

 impares. 



ik5. Si ternarius pro divisore assumatur, omnes numeri in tres classes distinguentur: prima 

 complectitur numeros formae 3/w, secunda numeros formae 3/wh-1, ac tertia numeros formae 3/w-*-2. 



i 46. Si divisor statuatur = h- , quaternae classes omnium numerorum his quatuor formis 

 comprehenduntur: I. km, 11. km-t-i, III. km-H2f IV. km-i-3, ubi prima classis nomen sortita 

 est numerorum pariter parium; tertia vero numerorum impariter parium. At secunda et quarta 

 Dumeros impares in duas classes subdivisos exhibent. 



ikl. Simili modo divisor 5 has quinque numerorum classes suppeditat: I. 5m, II. 5/n-f-i 

 III. 5///H-2, IV. 5/n-*-3, V. 5m-i-k: ac divisor 6 praebet has sex classes: 



I. 6/w, II. 6//i-*-l, III. 6/W-H2, IV. 6//i-*-3, V. Qm-\-k, VI. 6/n-f-5, 

 et ita porro pro quovis alio divisore? 



148. Sic igitur quilibet numerus pro quovis divisore ad certam quandam classem refertur, seu 

 certa quadam forma exprimitur, quod, cum divisorum numerus in infiuitum augeri queat, infinitis 

 modis fieri potest. 



149. Si enim numerus fuerit minor divisore proposito, ipse ut residuum spectari potest, indice 

 multipli evanescente: ita si sit a<6, erit a=mb-t-a existente /n = 0, numerus ergo 3 respectu 

 divisoris 5 pertinet ad classem 5/n-i-3. 



150. Quaelibet classis infinitos contiuet numeros in arithmetica progressione crescentes, secun- 

 dum differentiam divisori aequalem. Ita in genere si divisor sit 6 et residuum r, omnes numeri ad 

 classem mb-t-r relati sunt: r, 6-*-r, 26-»-r, 36-i-r, 46-*-r, 56H-r, etc. cujus progressionis 

 arithmeticae terminus generalis est ipsa formula mb-*-r, unde est nata. 



i51. Formula mb-t-r etiam hoc modo (m-t-i) 6 — 6-*-r potest repraesentari , sicque residuo 

 positivo r aequivalens censendum est residuum negativum — (6 — r), unde patet idcam rcsiduorum 

 latius extensam etiam numeros negativos complecti. 



