20 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



i52. Hinc divisore 6 existente =2, formula numerorum imparium 2m-i-l ^tiam ita 2/w — 1 

 repraesentari potest; atque si divisor 6 sit =3, classis numerorum, qui per 3 divisi relinquunt 

 binarium, etiam formula 3m — 1 continetur; sicque omnes numeros in una harum trium formularum 

 3m, 3/w-i-l et 3m — 1 contineri necesse est. 



153. Quare si residua negativa admittere velimus, omnes formulas mh±r ita repraesentare 

 poterimus, ut residuum r semissem divisoris 6 non superet. Si enim esset r ^^6, pro r sumamus 



— (6 — r) eritque 6 — r <C -^ ^* 



15^. Simili modo cum sit mb -\-r={m — 1) 6 -h 6 -h r, residuo r etiam aequivalet residuum 

 b-^ ry vocabulo in latiori sensu accepto. Generatim erg-o residua minus proprie ita dicta 6 -i- r, 

 26-i-r, 36-Hr, etc. aequivalent residuo r proprie sic dicto. 



155. Scilicet divisore existente 6, omnis numerus, etiamsi sit major quam 6, tanquam residuum 

 spectari potest, qui ad residuum proprie ita dictum reducetur, divisorem 6 inde toties auferendo, 

 quoties fieri licet, quod adeo negativa admittendo infra semissem ipsius 6 deprimi poterit. 



156. Ita si divisor sit 6 et residuum 16, hoc residuum improprium reducetur ad proprium 

 kj atque adeo ad negativum — 2, sive istae formulae 6m-4-16, Qm-+-k-j 6//i — 2 pro aequivalen- 

 tibus sunt habendae, quia omnes numeri in una contenti simul in reliquis continentur. 



157. Girca residua plures insig;nes proprietates perpendi oportet. Si numerus J per divisorem 

 d divisus, praebeat residuum a, numeri quoque J-^d, J-+-2d, J-+-3d, etc. idem relinquent 

 residuum a, at numerus A-^\ per eundem divisus dabit residuum «-*-!, et generaliter uumerus 

 A-t-n residuum dabit a-t-n, quod si excedat divisorem d, eo subtrahendo quoties fieri potest, 

 ad minimam formam reducetur. 



158. Simili modo, si sumto divisore d, numero J residuum conveniat a, numeri quoque 

 A — d, A — 2dy A — 3d, etc. idem relinquent residuum, at numero A — 1 residuum conveniet 

 a — 1, et numero A — n residuum a — n, quod si forte sit.negativum, additione divisoris d ad 

 positivum reducetur. 



159. Sumto divisore d, si numero A conveniat residuum a, numero vero B residuum ^, 

 aggregato horum numerorum A-+-B conveniet residuum « -i- /9 , quod congruit cum a-*- /3 — d, 

 si forte sit a-t- /3 "^ d. Hinc patet si sit a~^ /3 = d, fore A -t- B multiplum ipsius d. 



160. lisdem positis, difFerentiae numerorum A — B conveniet residuum cc — /5, vel etiam 

 a— /5-f-d, si forte sit /3 "^ a. Unde si sit a = /3, seu si numeri A et B paria relinquant residua, 

 eorum differentia erit per divisorem d divisibilis. 



161. Sumto divisore d, si numerus A praebeat residuum a, ejus duplum 2A dabit residuum 

 2a, vel etiam 2« — d, triplum vero 3A dabit residuum 3a, cujus, si sit majus quam d, minima 

 forma erit vel 3« — d, vel 3« — 2d. Atque in genere multipli cujusvis nA residuum erit na, 

 sive na — md. 



162. Si divisore posito =d, numero A respondeat residuum a, numero vero B residuum /3, 

 producto AB residuum conveniet aj3, quod si forte majus fuerit quam divisor d, reducitur ad 

 a/3 — d, vel a/3 — md. 



