Tractafus de numerorum doctrina Cap. 6. 21 



163. Erit enim 4 = md-^ct et B = nd-\- ^, unde flt productum 



AB = wi/id* -+- (m/9 -4- /la) d-*-a^y 

 cnjus partcs priores cum sint per d divisibiles, postroma «/? pro residuo haberi potest. 



IG^. Hinc colligimus, si numerus J per d divisus relinquat residuum a, ejus quadrato J* 

 respondere residuum aa, ejusque cubo J^ residuum «', et potestati cuicunque ^" residuum «", 

 quod, divisione per d facta, porro ad minimam formam reducetur. 



165. Quare si numero J per d diviso relinquatur residuum =1, omnes ejus potestates 

 J^^y /^*, y^*, etc. per eundem divisorem d divisi idem residuum relinquent =1. At si residuum 

 numeri ^ sit — 1 , aequipollens ipsi d — 1 , potestatum parium J\ ^*, A^, J", etc. residua erunt 

 -f- 1 , imparium vero — 1 . 



166. Denique notandum est, si numerus A per d divisus praebeat residuum a, tum fore 

 J — ce per numerum d divisibile. Unde cum ^^" pro divisore d det residuum a", erit quoque 

 J" — a" per d divisibile. 



Capnt VK, 



De residuis ex divisione terminorum progressionis arithmeticae ortis. 



167. Incipiamus a serie numerorum naturalium, cujus termini 1, 2, 3, 4-, etc. per divisorem 

 quemcunque d divisi, dabunt residua 1, 2, 3, h-, etc. donec perveniatur ad terminum d, cui resi- 

 duum convenit =0, sequentes vero termini d-i-1, d-t-2, dH-3, etc. eodem ordine residua 

 1, 2, 3, etc. reddent, usque ad 2d, cujus residuum iterum evanescit, et ita porro. 



168. Sit jam proposita progressio arithmetica quaecunque 



a, aH-6, a-4-26, «-#-36, a-^kb, a-t-56, etc. 

 cujus singuli termini per divisorem d dividantur, et ex primo oritur residuum a, quod idem ante 

 non recurret, quam perveniatur ad terminum a-*-n6, cujus pars nb per d divisibilis existat, et post 

 hunc terminum residua eodem ordine prodibunt atque ab initio (*). 



169. Primo quidem statim liquet, hinc plura diversa residua resultare non posse, quam divisor 

 d contineat unitates. Unde, si ab initio jam tot diversa residua prodierint, necesse est, ut deinceps 

 priores iterum redeant. Semper autem terminus a-t-db, cujus index est d-t-i, idem praebet 

 residuum ac primus a. 



170. Si differentia progressionis 6 fuerit factor divisoris d, vel si saltem b et d communem 

 habeant factorem cp, ut sit b = B(p et d = D<p, tum antequam ad terminum a-t-db perveniatur, 

 primum residuum a revertetur, scilicet hoc continget in termino a-*-Db, cujus index est D-*- i, 

 quoniam Db = BDcp = Bd per d est divisibile. 



171. Hic ergo duos casus evolvi conveniet, alterum, quo divisor d et differentia progressionis 

 a sunt numeri inter se primi, alterum vero, quo sunt numeri inter se compositi, seu quo habent 

 quempiam factorem communem, praeter unitatem. 



(*) Script. admarg. Haec residua excedent numero a residua orta ex progressione 0, h\, 2b, 36, h-b, etc. 

 quare banc evolvisse sufficiet. 



