22 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmatca. 



172. Si divisor d et differentia progressionis 6 fuerint numeri primi inter se, priraum residuum 

 a ante nonrecurrit, quam intermino a-i-db; si enim ex termino quodam antecedente resultaret, puta 

 a-t~(d n)b, esset (d — /i) 6, ac proinde etiam nb per d divisibile, ideoque etiam n, quod foret 



absurdum. 



173. Ad definienda ergo residua considerari oportet terminos progressionis , a primo a usque 

 ad (i-*-{d — 1)6, quorum multitudo est d, quos terminos ordine dispositos cum suis residuis ita 

 repraesentemus : 



Indices: 1, 2, 3, 4, 5, d 



Progressio: a, a-i-by a-*-26, a-i-36, a-\-kb, a-\-(d — 1)6 



Residua: a, /9, y, d, e, A 



174. Primum ergo observo cuncta haec residua , quorum multitudo est =;:df, inter se esse diversa. 

 Quemadmodum enim primum a non amplius occurrere ostensum est, ita etiam secundum /3 semel 

 tantum adesse docetur. Si enim ex termino a-+-nb, existente n<Cd, idem oriretur residuum, foret 

 differentia terminorum (n — 1) 6 per d divisibilis, ideoque et n — i, quod repugnat. 



175. Cum igitur omnia residua a, /3, 7, 5,....^ sint inter se diversa, eorumque multitudo 

 sit = d, inter ea omnes numeri ipso d minores una cum cyphra occurrent, numeri scilicet 

 0, 1, 2, 3y....{d — 1) occurrent, quorum multitudo pariter est =d. 



176. Quare si r fuerit numerus quicunque minor quam divisor d, dabitur certe progressionis 

 terminus a-+-nb, existente n<Cd, qui per d divisus relinquat residuum r. Ac sumto r=0, 

 dabitur ejusmodi terminus a^nb per d divisibilis. 



177. Si terminus a-f-7i6 residuum praebeat r, erit a-t-nb — r per d divisibile. Unde si 6 

 et d sint numeri inter se primi, et a — r denotet numerum quemcunque, semper dabitur numerus 

 n minor quam d, ita ut numerus a — r -4-716 fiat per d divisibilis. 



178. Sit a-i-mb terminus per d divisibilis, existente m<Cd, ac terminus sequensa-t- (/«-1-1)6 

 residuum dabit 6, praecedens vero a-\-[m — 1) 6 residuum — 6, seu d — 6. Sit porro a-¥-nb 

 terminus, qui per d divisus unitatem relinquat, atque illo numero hinc ablato differentia {n — wi) 6 

 etiam unitatem relinquet. 



179. Ponamus n — m=p, ut numerus f)6 per d divisus unitatem relinquat, sumtoque termino 

 ft-f-w6 per d divisibili, termino a -h (/n -*- jo) 6 conveniet residuum =1, termino a -*- (/w -+- 2/)) 6 

 residuum = 2 , termino a -\- [m -t- 3p) b residuum = 3 , et in genere termino a-\-(m-\- np) 6 

 residuum = n. 



180. Si m-\-np fuerit majus divisore d, hic toties inde auferatur, donec remaneat numerus 

 k<Cd, et terminus a-t-kb per d divisus relinquet residuum = /i. 



181. Facilius autem termini data residua relinquentes definiri possunt, dum innotuerit pro- 

 ductum pb, quod per d divisum relinquat unitatcm. Gum enim terminus primus a relinquat a, ter- 

 minus a -1- npb relinquet a-\-n. 



182. Si ergo datum residuum fuerit = r, ponatur a-i-/i = r, et ob /i = r — a, invento p, 

 terminus residuum r praebens erit a-\-(r — a)pb', vel etiam generaliter a -1- ((r — f*)p — H^) 6, 

 ubi fi ita assumere licet, ut fiat (r — a) pz*zfid<Cd. 



