Tractatus de numerorum doctrina Cap. 7. 28 



183. Totum erg;o negolium huc redit, ut numeri b id investig-etur multiplum pb, quod per 

 d divisum unitatem relinquat. Cum itaque pb — 1 per d sit divisibile, posito pb — l—^d, numeros 

 p et q investigari oportet, ut fiat pb — qd==i. Semper autcm p infra d assignari poterit. 



184-. Saepe ejusmodi productum nb facilius reperitur, quod per d divisum reiinquat d — 1, 

 seu — 1 ; tum autem hoc productum (d — tt) 6 residuum praebebit = h- 1 , ita ut invento n futurum 

 sit p = d — 7c. Tum igitur terminus a -h ((a — r) jizt: /ud) b datum residuum r relinquat. 



185. Consideremus nunc etiam residua, quae oriuntur si differentia progressionis 6 et divisor 

 d non fuerint numeri intcr se primi. Atque jam vidimus, si factor communis sit 9), ut sit b^Bcp 

 et d=^D(p, jam terminum a-v-Bb idem praebere rcsiduum, quod primus a. 



186. Quare si cp fuerit maximus factor communis numerorum 6 et d, quoniam primum resi- 

 duum fl, vel « demum in termino a-i-JJb recurrit, plura residua diversa locum habere nequeunt, 

 quam numero D: neque ergo omnes numeri divisore d minores inter residua occurrent. 



187. Quo haec residua facilius scrutemur, ponamus esse a = 0, sintque termini progressionis 

 cum suis residuis: 



Indices 12 3 4 D 



Termini 0, %, 2%, 3% (D— 1)% 



Residua 0, /?9?, ycp, d(py Xcp 



manifestum enim est, si hi termini pcr d = D(p dividantur, residua quoque per q) esse divisibilia. 



188. Nam si mB divisum per D praebeat residuum r, erit mB=nD-^r, ideoque mB^=nDq>-*-rq). 

 Uude si mBq) per Dcp = d dividatur, residuum erit rcp, multiplum ipsius 90. Cum igitur pro r 

 omnes numeri ipso D minores prodire queant, etiam inter illa residua omnia multipla ipsius ^p, quae 

 quidem divisorem d=Dcp non superant, occurrere debent, quorum multitudo utique est = D. 



189. Si ad singulos terminos adjiciamus numcrum a, eodem singula residua augebuntur, quae 

 ergo ita se habebunt, existente b = Bcp et d = Dcp: 



Indices 1 2 3 4 5 D 



Termini a, a^b, a-¥-2b, aH-36, a-\-kb. . . . .a^^^D — 1)6 

 Residua a, a^^fp, a-^ycp, a-^bcp, a-^scp, a-i-Xq) 



ubi series /9, y, d, s. . .X omnes numeros ipso D minores continet. 



190. Hoc ergo casu ex serie residuorum excluduntur omnes numeri, qui numero a minuti 

 Don sunt divisibiles per q), seu maximum communem divisorem differentiae 6 et divisoris d. 



191. Cum numeri B et D sint primi inter se, ejusmodi multiplum prioris, puta mB, exhiberi 

 potest, quod per D divisum, datum relinquat residuum r; tum autem nostrae progressionis terminus 

 a-^mBcp, seu a-^mb per Dq) = d divisus, relinquet residuum a-t-r^p^*). 



Caput TII. 



De residais ex divisione terminorum progressionis geometricae ortis. 



192. Progressionem geometricam in genere ita repraesentamus: a, ab, ab^, ab^, ab* , ab^, etc. 



(*) Script. ad marg. Methodus definiendi formulam ax-+-if, ut ea per datum numerum d fiat divisibilis. 



