2A L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmeuca. 



cujus termini, si per numerum quemcunque d dividantur, ejusmodi dabunt residua, quae facile ex 

 residuis hujus progressionis 1, 6, 6^, 6*, etc. coUigi possunt, his scilicet per a multiplicandis. 



193. Haec erg-o de residuis quaestio ad meras potestates revocatur, ita ut residuum definiendum 

 sit, quod potestas quaecunque 6" per datum numerum d divisa relinquit. Ubi quidem casus distingui 

 convenit, quibus numeri b et d sunt vel primi inter se, vel compositi. 



idk. Si sit b=pcp et d = q(py quaeratur residuum ex p"ff"~^ ortum, si per q dividatur; 

 illudque per q) multiplicatum dabit residuum ortum ex divisione numeri />"y" per g<jp, hocque modo 

 deducimur ad divisionem ejusmodi potestatis 6" per d, ubi 6 et d sint numeri inter se primi. 



195. Sint ergo 6 et d numeri inter se primi^ et residua ex divisione potestatum ipsius 6 

 oriunda ita indicentur: 



Potestates 1, b, b^ , 6', 6% b\ b\ b\ etc. 

 Residua 1, ot, /?, 7, 5, €, ^, tj^ etc. 



quae omnia ad divisorem d quoque erunt prima, quia d ad omnes potestates ipsius 6 est primus. 



196. Quia haec residua 1, «, ^, /, 5, etc. omnia sunt minora quam d, ea omnia a se invi- 

 cem diversa esse nou possunt. Quin si multitudo numerorum, ad d primorum eoque simul minorum, 

 sit fi, plura residua diversa resultare nequeunt, quam /li continet unitates. 



197. Cum ergo innumerabiles potestates paria praebeant residua, si ponamus 6^" et b"^~*~" 

 idem dare residuum, harura potestatum differentia 6'""*"" — 6"* = 6"'(6" — 1) per d erit divisibilis. 

 Quia igitur 6'" ad d est primus, sequitur 6" — 1 per d esse divisibile, seu potestatem 6" dare 

 residuum = 1. 



198. Quia plura quam /u residua diversa occurrere nequeunt, si progressio ad terminum 6^ 

 continuetur, ob terminorum numerum =^-+-1, unum saltem residuum bis occurret, sicque casus 

 ante positus contingat, antequam m-^n superet /f, unde potestas 6" residuum =1 reproducens 

 dabitur, ita ut n non superet /u. 



199. Ponamus post unitatem 6" inOmam esse potestatem, quae per d divisa unitatem relinquat, 

 atque sequentes potestates 6""*"^, 6""^^, 6""^^, etc. eadem praebebunt residua, quae potestates initiales 

 6, 6^^, 6', etc. donec perveniatur ad potestatem 6^", quae iterum unitatem pro residuo relinquet. 



200. Cum igitur a potestate 6" progrediendo eadem residua recurrant, atque ab initio, non 

 solum omnes potestates 6**, 6", b"^", 6^", 6*", etc. idem relinquent residuum 1 , sed etiam hae 6\ 

 6"-*-^ 6^'*-*-', 6'"-*-^ 6*"-^', etc. idem habebunt residuum, quin etiam istae b"\ 6""^"', 6*"-*-'", 

 b^^~*'"\ etc. per d divisae aequalia residua relinquent. 



201. Posita ergo 6" infima potestate unitatem pro residuo relinquente, ita ut n non excedat 

 /u, multitudinem numerorum ipso d minorum ad eumque primorum, omnes antecedentes potestates 

 1, 6, 6^, 6^, ....6"""^ disparia praebebunt residua, quae deinceps eodem ordine recurrent. Si enim 

 duo eorum essent paria, minor valor pro n haberetur, contra hypolhesin. 



202. Quodsi ergo in residuis omnes numeri ad divisorem d primi eoque minores occurrant, 

 quorum multitudo est =-/Uj erit n=:ju, atque 6^* — 1 per d erit divisibile. Sin autem non omnes 

 illi numeri ad d primi inter residua occurrant, necesse est, ut sit n <C. ju. Ostendemus autem his 

 casibus n esse partem aliquotam ipsius /u. 



