Tractatus de numerorum doctrtna Cap. 7. 25 



203. Si non omnes numeri ad d primi eoque minores, quorum multitudo est =/Uj inter 

 residua, quorum multitudo est =/i, occurrant, eos, qui ex ordine residuorum excluduntur, nomine 

 non-residuorum appcilabo, ita ut multitudo residuorum n cum multitudine non-residuorum exhaurire 

 debeat numerum /u, 



20 V. Si in serie residuorum 1, c», ,6^ y, etc. occurrant numcri r et *, in ea quoque occurret 

 numerus rs^ seu residuum ipsi aequivalens. Si enim residua r el s respondeant potestatibus b^ et 

 6", potestati 6^"^'' respondebit residuum rs. Ilincque inter residua occurret numerus r^*^, sumtis 

 exponcntibus f et g utcunque. 



205. Vicissim si potestati b^ conveniat residuum r, potestati vero 6^'"*"'' residuum rs, vel 

 rs — Ad, tum potcstati 6" conveniet residuum s. Nam producto 6^5 conveniet residuum rs, idem 

 quod potestati 6<'"'~''; hinc differentia 6"*^' — b^s = b^ (b" — s) per d erit divisibilis. Quare cum 6^' 

 ad d sit primus, necesse est sit 6" — s per d divisibile, sicque potestati b" respondebit residuum s. 



206. Si ergo numeri r et rs inter residua reperiantur, certum est et numerum s ibidem 

 repertum iri. Quodsi jam series residuorum 1, a, /3^ /, d, etc, quorum numerus est =/i, non 

 omnes numeros ipso d minores, ad eumque primos complectatur, quorum multitudo est = ^, 

 dabitur unus pluresve, quos in classem non-residuorum referri oportet. 



207. Sit cc tale non-residuum , ac manifestum est etiam hos numeros ax^ /?£c, yx, 8x, etc. 

 inter non-residua reperiri, nam si ax in residuis inveniretur, quia cc ibidem extat, etiam x ibidem 

 reperiri deberet, contra hypothesin. Ex unico ergo non-residuo necessario sequuntur tot non-residua 

 quot habentur residua, scilicet numero n. Sunt enira haec non-residua inter se aeque disparia ac 

 ipsa residua 1 , a, /?, y, S, etc. ac si ibi duo aequalia darentur, etiam hic talia esse deberent, quod 

 foret absurdum (*). 



208. Statim ergo atque est n <C /u, ad minimum dantur n non-residua , quae si omnia com- 

 plectantur, erit tam residuorum quam non-residuorum numerus =/i-»-n, ipsi ju aequandus, unde 

 flt /i = — ; hiuc si /i < ^ , fieri nequit , ut numerus residuorum n semissem numeri ju superet. 



209. Si in modo expositis non-residuis x, ax, /3xy yx, etc. non omnia occurrant, sit y 

 numerus <C d ad eumque primus, qui neque in his non-residuis neque residuis reperiatur, atque 

 simili modo etiam hi numeri ay, ^y, yy , etc. a praecedentibus diversi, ad non-residua referri 

 debent, sicque denuo n numeri ad non-residua accedunt. 



210. Si his duobus ordinibus nondum omnia non-residua exhauriantur, novus ordo accedet, 

 pariter n terminis constans, ac fortasse denuo novus totidem constans terminis; unde colligitur 

 numerum omnium non-residuorum, nisi sit nullus, vel ipsi uumero /i, vel ejus duplo, vel triplo, vel 

 in genere multiplo cuicunque aequari. 



211. Cum igitur omnia non-residua una cum residuis multitudinem omnium numerorum ipso 

 divisore d minorum ad eumque primorum exhaurire debeant, erit vel n=^ fi, vel 2/i = ^, vel 

 3/1 = ^ etc. sicque semper exponens n est pars aliquota numeri fi. 



(*) Script. ad marg. Si a; et y non-residua, erit y = cm? et ary = cMra?; jam si numerus non-residuorum 

 = numero residuorum, demonslrandum est xx inter residua contineri. 



L. E n 1 e r i Op. posthuma. T. I. ||> 



