26 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



212. Quodsi ergo b et d sint numeri inter se primi, et /u denotet multitudinem omnium 

 numerorum ad d primorum ipsoque minorum, tum vero 6" fuerit minima potestas post casum /i=0, 

 quae per d divisa unitatem relinquat, tum erit vel n = ^, vel n aequabitur parti cuipiam aliquotae 

 ipsius ^, ita ut sit n= - > existente m divisore quopiam ipsius fi. 



213. Cum autem post potestatem 6" etiam omnes istae 6^", 6*'*, 6*", etc. unitatem pro residuo 

 agnoscant, semper potestas 6""* = 6^ per d divisa unitatem relinquet. Hinc dum 6 et d fuerint 

 numeri inter se primi , haec formula h'^ — 1 semper per numerum d erit divisibilis. 



214. Si praeterea etiam c et d! fuerint numeri inter se primi, quoniam c^ — 1 divisionem per 

 d admittit, harum formularum differentia 6*" — c^ semper per numerum d erit divisibilis, dummodo 

 uterque numerus 6 ct c ad d fuerit primus. 



215. Si pro d sumamus numerum primum p, erit fi=p — 1, atque haec formula b^~^ — 1 

 semper erit per p divisibilis, nisi ipse numerus 6 fuerit multiplum ipsius p. Fieri autem potest, ut 

 forma simplicior f* — 1 etiam divisionem per /) admittat, ubi autem necessario requiritur, ut exponens 

 n sit pars aliquota ipsius p — 1. 



216. Si divisor sit d=pq, existentibus p et q numeris primis inaequalibus, neque b alter- 

 utrum horum numerorum complectatur, tum oh ju= (p — 1) (q — 1), haec forma b^P—^'»^^—^) — f 

 per d erit divisibilis. 



217. Ac si existentibus p, g, r, s numeris primis inaequalibus, fuerit d = p^q^r^s% ac b 

 numerus quicunque ad d primus, tum posito 



m=p^-' {p — 1) q"-' {q — 1) r""* (r— 1) s^-' (5—1), 



haec forma 6^" — 1 semper per d erit divisibilis, atque interdum fieri potest, ut formula simplicior 

 6^—1, existente n parte quapiam aliquota ipsius m, divisibilis evadat. 



218. Sed retineamus divisorem generalem d, sitque /u. multitudo numerorum ipso minorum 

 ad eumque primorum, pro 6 autem sumatur numerus quicunque ad d primus, cujus minima potestas 

 per d divisa unitatem reliuquens sit 6", atque vidimus necessario fore vel n = fi, vel n = —fi, vel 



111 



n=—fi, vel n=~fi, vel n=—fi, siquidem jli tales partes aliquotas admittat; quos casus 

 diligentius evolvi conveniet. 



219. Statim quidem suspicari licet, hoc discrimen ab indole numeri b pendere, ita ut pro dalo 



111 

 divisore d, certi numeri pro b sumti praebeant n = fi, alii n = —fi, alii n=—fi, alii n=~ fi, 



seu adhuc minori parti aliquotae ipsius fi, 



220. Quaecunque autem n sit pars aliquota ipsius fi , si binae potestates 6" et c" unitatem 

 relinquant, etiam composita (6e)" unitatem relinquet. Deinde etiam manifestum est potestatem 

 (6i±:Ad)" per d divisam, esse relicturam unitatem. 



221. Cum potestas 6^ semper unitatem relinquat, quaeramus numeros pro 6 sumendos, ut 



eliam 6»'" unitatem relinquat, quo casu ante omnia necesse est ut fj, sit numerus par, quod quidem 

 semper evcnit nisi sit d == 2. 



