30 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithnetica. 



n 



aliquota ipsius n. At si minor potestas ipsius c, puta c, relinqueret unitatem, etiam talis potestas 

 ipsius 6 relinqueret unitatem, quod cum sit contra hypothesin, sequitur, si 6" fuerit minima potestas 

 unitatem relinquens, etiam c" fore minimam potestatem 1 relinquentem. 



2k\. Ita posito d= 13, quia 5* est minima potestas unitalem relinquens, si sit 5c=l3A;-+-i, 

 erit quoque c* minima potestas unitatem relinquens. Verum ut fiat 13/c-+-l per 5 divisibile, sumi 

 debet A:=5A — 2, eritque c=13A— 5, cujus minimus valor est c = 8, ita ut etiam 8* sit 

 minima potestas per 13 divisa unitatem relinquens. 



2k2. Quicunque autem fuerit numerus 6 minor quam d ad eumque primus, semper quoque 

 dabitur numerus c, etiam minor quam d ad eumque primus, ut sit fec = /cd-i-l, neque plures. Si 

 enim duo dentur, ut esset tam 6c = M h- 1 , quam be = ld-+- 1 , foret hc — be = b (c — e) per d 

 divisibile, unde ob 6 et d primos, esset c — e per d divisibile, quod cum c et e sint minores quam 

 dy fieri nequit, nisi sit e = c. Hoc autcm evenire potest, ut fiat c = b^ quod semper contingit, si 

 sit vel 6 = 1 , vel 6 = d — 1. 



De potestatibus numerorum, quae per numeros primos divisae, unitatem relinquunt. 



2^3. Quodcunque residuum potestas a" per numerum d divisa relinquit, idem etiam relinquent 

 omnes potestates ejusdem exponentis (a-i-Ad)", atque si n fuerit numerus par, idem residuum 

 relinquet etiam potestas {Xd — «)", unde judicium residuorum ad numeros a divisore d minores 

 revocatur. 



2hk. Sit jam divisor d numerus primus quicunque, et quia binarius nullam habet difficultatem, 

 ponatur d = 2/) h- 1 , eritque 2p multitudo numerorum ipso d minorum ad eumque primorum. Jam 

 si a sit numerus quicunque ad d primus, quod fit dummodo a non sit d ejusve multiplum, vidimus 

 ejus potestatem a*^ per d = 2/) h- 1 divisam semper unitatem relinquere. 



2k^. Saepe autem evenire potest, ut etiam potestas inferior a", existente /i < 2/), per eundem 

 numerum d = 2p-\-i divisa unitatem relinquat; tum autem exponens n certo est pars aliquota 

 ipsius 2p. Quod ergo si evenit, non solum formula a^P — 1 , sed etiam formula a" — 1 per numerum 

 primum 2/) -♦- 1 erit divisibilis. 



2^6. Quod si ergo formula a" — 1 fuerit divisibilis per numerum primum 2/)H-i, erit etiam 

 formula a"'" — i divisibilis, unde cum formula a^^ — 1 certo sit etiam per 2p-\-\ divisibilis, erit 

 etiam dilTerentia a'"" — a^P^ seu a'^^' {a"'"~^P — 1) divisibilis; quare cum factor a^^ divisionen non 

 admittat^ alter «""""V — \ divisibiiis sit necesse est, quicunque numerus pro m sumatur. 



2kT. Sit A maximus communis divisor numerorum n et 2p; ac si formula a" — i fuerit divi- 

 sibilis per numerum primum 2/) -t- 1 , etiam haec formula a'^ — 1 per 2/) -i- 1 erit divisibilis. Sit 

 enim n = al et 2p = /SX^ ut « et /? sint numeri primi inter se, et quoniam tam a'^^ — 1 quam 

 aP^' — I sunt multipla ipsius 2/) -h i , etiam hae formulae a^""^ — i et a'*'^^ — 1 erunt multipla. At 

 ob a et /9 numeros primos, fit et f iisi accipi possunt, ut fiat /«« = »^/5 -i- 1 , unde dilferentia erk 



