Traclatus de numerorum doctrina Cap. 8. 31 



^v/3/?-f->? — a^t^^=::a^i^''- (^a^ — i), quae cum sit divisibilis per 2/)-t-l, necesse est sit a^ — i per 

 2p H- 1 divisibile. 



2'f 8. Si ergo n sit numerirs ad 2p primus, forma a" — t divisibilis esse nequit per numerum 

 primum 2/) -♦- 1 , nisi sit a — 1 pcr eundem divisibiie. Unde si a — 1 non sit multiplum numeri 

 primi 2/)-t-l, formula a" — 1 per eum divisibilis esse nequit, nisi n et 2p sint numeri inter se 

 compositi, quorum si maximus communis divisor sit X, adeo haec formula a^ — 1 per 2/)-h 1 erit 

 divisibilis. 



249. Si igitur a" fuerit minima potestas ipsius a , quae per numerum primum 2p-i- i divisa 

 unitalcm relinquit, tum certe est n pars aliquota numeri 2p. Tum autem si fuerit ab = k (2p-»-l)-i-l, 

 erit etiam 6" minima potestas ipsius 6, quae per 2p -t- i divisa unitatem relinquit. 



250. Si n sit numerus primus et formula a" — 1 divisibilis per numerum primum 2p-i- 1, 

 vel erit n pars aliquota ipsius 2p (quia alius communis divisor locum non habet), vel si fuerit ad 

 2p primus, numerus a — 1 per 2p-t-i erit divisibilis. Quare praeter divisores ipsius a — 1 formula 

 a" — 1 alios divisores primos non admittit, nisi hujusmodi formae 2/) -i- 1 , nt 2p sit multiplum 

 ipsius n. Unde omnes ejus divisores primi in hac forma 2mn -t- 1 continebuntur. 



251. Quare haec forma a' — 1 praeter divisorem a — 1 alios divisores primos non admittit 

 nisi formae Gm-nl, qui sunt 7, 13, 19, 31, 37, k3j 61, 67, 73, 79, 97 etc. Cum erg^o aa-t-a-i-1 

 sit factor ipsius a' — 1 , etiam is per nullos alios numeros primos est divisibilis. 



252. Simili modo forma a* — 1 practer divisorem a — 1 alios non habet, nisi qui in forma 

 10m-*-l contineantur, quales sunt 11, 31, k-i , 61, 71 etc. Quare etiam tales numeri 



a* -t- a' -H a^ -I- a -I- 1 , 



nisi sint primi, alios divisores non admittunt. 



253. Quoniam numeri perfecti inveniuntur, quoties formula 2" — 1 est numerus primus, primum 

 patet hoc evenire non posse, nisi n sit numerus primus. At si n fuerit talis, formula 2" — 1 certe 

 alios non habet divisores nisi formae 2m/i-i-l, unde exploratio utrum sit primus, nec ne? faciliori 

 negotio absolvitur. 



25%. Cum a^^P — 1 semper sit divlsibile pcr numerum primum 2/>-4-l, illa autem forma constet 

 factoribus a^ — 1 et a'" -i- 1 , necesse est ut alteruter pcr 2p-{- i sit divisibilis. Vidimus autem, 

 si sit a = cezt: A (2/)-f- 1), fore a^' — -1 divisibilem; his ergo casibus formula a'' -i- 1 per 2/) -i- 1 

 certe non est divisibilis. 



255. Hic quaestio oritur, num forte semper formula a^' — 1 per 2/)-f-l sit divisibilis? ideoque 

 nunquam altera a^'-*-l, quod casu, quo p est uumerus impar, statim negandum esse patet. Quia 

 enim tum a^-i-l factorem habet a-i-1, ista formula sumto a = 2p manifesto per 2p-*-l fit 

 divisibilis. 



256. In gcnere autem sequcnti modo ostendi potest formulam a" — 1, existente /i < 2p, non 

 semper divisibilem esse per numerum primum 2/) -*- 1 , sed dari utique ejusmodi numoros pro a 

 adhibendos, quibus divisio formulae a" — 1 non succedat, quod per deductionem ad absurdum 

 sic commodissime dcmonstrabitur. 



