32 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ArithrMtwa. 



257. Qui enim hoc negaverit, afQrmare debet omnes has formulas 1" — 1, ^" — 1, 3" — 1, 



l^.n I 5" l,....7i'* — 1 per 2/) -1-1 esse divisibiles, ideoque etiam earum differentias tam primas 



2«— 1, 3" — 2", 4-" — 3", 5" — 4", etc. quam secundas 3" — 2.2" -i- l'*, ^t" — 2 3" -t- 2", 

 5" 2.^" -*- 3", etc. et sequentes omnes. 



258. Differentiae autem ordine n sunt constantes, quae si littera N indicentur, ita exprimuntur 

 ut sit iV=(/i-i-ir— n.n"-4-^^^^(n--l)»- "^"~'^^p^\ /i.-2r-H etc. cujus expressionis 

 valores pro variis valoribus ipsius n facile colliguntur : 



Si /1 = 1 est iV=2 — 1=1 



n = 2 ^^=3^^— 2. 2^-H 1 = 2=1.2 



n=3 iV=4«— 3. 3*H- 3.2«— 1 = 6 = 1.2.3 



n = k iV=5* -^.4^*-h6.3*— ^.2*-+-l=2!^= 1.2.3.^ 



etc. 



P = (/i-t-2r-^-(/t-*-l) {n-^ir--^^^^^n^--^-- ^''-^l;^l-'\ n-i)"--^-^etc. 

 P==(„^l)«-^i__(n-4- I) /i"-^»-H^--^^(/i — l) "-*-»— etc. 



259. Ad quod clarius ostendendum sit, pro n scribendo /i-t-1 



:(/l-|-2)"-*-'— (/l-t-1) (/l 



et a termino antcriori incipiendo 

 P = (/1-1-1)" 

 At valor ipsius N ita repraesentari potest 



iV= (« H- 1) "— /i"'^* H-i^ ('i — 1) "-*- ' —^TsX^'^— 2) "-*■* -♦- etc. 

 quae per /i-h 1 multiplicata praebet valorem ipsius P, ita ut sit P = (/i-t-l) iV. 



260. Cum igitur casu /i=i sit iV= 1 , casu /i = 2 erit i\' = 1.2, casu /i=3 erit iV= 1 .2.3, 

 et in genere pro numero quocunque /i erit iV= 1 .2.3. . . ./i. At haec dlfferentia ordinis n non 

 est divisibilis per numerum primum 2/)-t-l, ob /i < 2/), unde sequitur non omnes terminos seriei 

 §257 expositae por eum esse divisibiles. 



261. Sit 6/) -f- 1 numerus primus, et cum forma a^^ — 1 per eum sit divisibilis, nisi a 

 ejus sit multiplum, dabuntur casus, quibus etiam d^ — 1 per eum dividi poterit, scilicet sumto 

 a = e^z±:X (6/) H- 1). Tum vero etiam dantur casus, quibus formula a^^ — 1 non erit divisibilis per 

 istum numerum primum 6/) -*- 1 , uti ex demonstratione modo allata patet. 



262. Cum ante ostenderimus formulam a^^ — 1 fore per 6/> -f- 1 divisibilem, si fuerit 



a = cc zt A (6/) -t- 1 ) , 

 nunc colligere licet, si numerus a simul in hac forma ccdzX (6/)-t- 1) et in hac c«±A (6p-i- 1) 

 contineatur, tum etiam formulama'' — 1 per 6/)h- 1 fore divisibilem, id quod quoque continget si 

 fuerit a = c^ zt A (6/) -i- 1). 



263. Si sit 4/)-t- i numerus primus, ut a*^ — 1 per eum sit divisibile, tum adeo a^ — 1 per 

 eum dividi poterit, si fuerit a = c*=t A {kp-¥- i). Dantur vero etiam casus, quibus formula a''— 1 

 divisionem non admittet: iis ergo vel a^-f- 1 , vel a*''-i- 1 certe per kp-*-i erit divisibile. 



