Trhctatus de mmerorum doclrina Cap. 9. 33 



Caput IX. 



De divisoribus nuinerorum formae a"±b". 

 2Qk. Posito 2p-t-i numero primo, dum a et 6 ejus non sint multipla, tam haec formula 

 a^^' — I quam ista 6*^' — 1 per eum erit divisibilis; ideoque etiam earum diflerentia a^^ — b^^ semper 

 per numerum primum 2p -t- i divisioncm admittet. 



265. Ponamus jam numerum a" — 6" divisibilem esse per numerum primum 2p -f- 1 , et ut 

 exploremus, quomodo hoc fieri possit, ponamus cp esse maximum communem divisorem numerorum n 

 et 2p, ita ut posito n = ci(p et 2p = /3(p, numcri a et /? futuri sint primi inter se. 



266. Cum autem « et ,8 sint numeri primi inter se, fieri potest /ua = p/3 -*- i. Quare cum 

 a«9'_6«9' per 2p -i- i sit divisibihs, etiam ^'''"f—b^'"^ hoc est a^^^-*"*^''— 6^»'^-*-*^*' erit divi- 

 sibilis, tum vero ob a^^ — 6^^, quoque hic numerus a^'^^ — b^'^f ^ nec non idem per «'' multiph'catus, 

 scilicct a^^^-*-^^^— a^t^'^^^ 



267. Auferatur hacc posterior forma a praecedente, et diffcrentia a^6''^''— fe^''^-^*^9'=6*''^?'(a''— 6'') 

 divisibiiis erit per numcrum primum 2p-v-i. At b'*'>^^ per eum non est divisibilis, ergo alter factor 

 a^ — 6?' divisibilis sit ncccsse cst. 



. 268. Quare si numcrus a" — 6" divisibilis sit pcr numerum primum 2/)-f-l, fueritque 9? 

 maximus communis divisor numcrorum n et 2/), etiam hic numerus af — 6'' per 2p-t~i divisibilis 

 erit, et nisi posterior divisionem admittat, ne prior quidcm admittet. 



269. Quodsi ergo n ct 2p fucrint numcri intcr se primi, seu unitas maximus eorum communis 

 divisor, nisi a — b sit divisibilc per 2p-t-i, etiam a" — b" pcr hunc numerum primum divisionem 

 non admittet. 



270. Divisores ergo primos numeri a" — 6" investigaturi , practer divisores ipsius a — 6, qui 

 sponte se ofTerunt, reliquos quaerere dcbcmus inter eos numeros primos 2p-f-l, in quibus 2p ad 

 n non est primus , scd compositus. 



271. Unde si n sit numcrus primus, omnes divisores numeri a" — b'* praeter eos, quos a — 6 

 continet, tantum inter numeros primos hujus formae A/i-hI quaercre dcbcmus, siquidem a et 6 

 sint numeri primi inter se, quam conditionem adjici debere manifestum est. 



272. Pro variis ergo valoribus ipsius n divisores primi formae a" — 6" praeter a — 6 quaeri 

 debcnt, ut sequitur: (*) 



formae 

 a» —6* 

 a« —6' 

 a' —6* 

 a' —b' 

 a'' — b'' 



divisores quaeri debent inter hos numeros primos: 

 2A-f-1...3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, nullis exclusis 

 3XH-1...7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, etc. 

 5A-I-1...11, 31, M, 61, 71, 101, etc. 

 7^-Hl...29, W, 71, 113, 127, etc. 

 lU-i-1...23, 67, 89, 199, 331, etc. 



etc. 



(*) Script. ad tnarg. 1. Ad divisores formae a" — b" etiam accedere potest ipse mimerus n. 2. Ex 

 «3— fe3 sequitur numerum aa-¥~ab-i-bb alios divisores habere non posse nisi 3A-t-l; ergo 3A — 1 

 certe non sunt divisores. 



L. Ealeri Op. postbaina. T. I. 5 



