31 L. EULERI OPERA POSTHUMA.' Arithmetica. 



273. Si n non sit numerus primus, sed productum duorum primorum, puta n = a/3y divisores 

 primi formae a^'^ — 6"'' praeter a — b continentur in forma 2/)-h1, existente 2p ad a^ non primo, 

 unde, prout vel «, vel /^, vel adeo «/5 fuerlt maximus communis divisor, forma divisorum primo- 

 rum erit vel Xu-+-i, vel X.<i-t-l, vel Xu/3 -h- I, in quarum prima A non debet continere /:?, in 

 secunda autem non «, in tertia vero non limitatur. 



274^. At divisores formae A«-+-l simul divident a" — 6", et divisores formae X/3 -^ i simul 

 hanc a^—b^j siquidem in priore ^ sit numerus primus ad /9, in posteriori autem ad a. 



275. Quare si formulae a"^^ — 6"'^ ii tantum divisores desiderentur, qui non simul dividant vel 

 a^ — 6"^ vel a^^b^f ii quaeri debent inter numeros primos formae A,w^<?h-1; sin autem tantum 

 divisores formae a" — b"^ excludere velimus, reliquos inter numeros primos X^-i-i quaerere debemus. 



276. Sit « = 2 et /5=2, atque omnes divisores primi hujus numeri a* — 6*, qui non simul 

 dividant a^ — b^ , continebuntur in forma kX-+-i; hique ergo divisores erunt numeri a^-f-6'^; unde 

 patet numeros formae a*-i-6* alios divisores primos non admittere, nisi qui sint formae kX-^i. 



277. Sit a = 3 et /3 = 2, atque omnes divisores primi numerorum a* — 6', qui non simul 

 dividant a^ — 6^, continentur in forma 2A-4-1; qui autem insuper quoque non a* — b^ dividant, in 

 hac 6A-4-1; hi ergo erunt divisores formae a* — a6-»-6*, neque tales numeri alios divisores 

 agnoscunt. 



278. Ex his in g-enere colligimus, si definiendi sint divisores numeri a^'" — 6*"*, qui non simul 

 sint divisores numeri a"^ — 6"*; hoc est, si desiderentur divisores numeri a'"-^b"\ eos inter numeros 

 primos hujiis formae 2Xm-\-i quaeri oportere. Hinc autem excluditur divisor a-i-6, si m sit 

 numerus impar, 



279. Ita pro variis valoribus ipsius m faciamus hanc tabulam: 



Numerorum 

 formae 



a*-4-6^ 



a"-f-6* 



a*-f-6* 



a'-v-b' 



a'-\-b' 



a'-*-b' 



a^-^b^ 



divisores quaeri debent inter numeros primos 

 formae 



U-Hl qui sunt 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97 



6^-1-1 7, 13, 19, 31, 37, 43. 61, 67, 73, 79, 97 



8A-f-l 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193 



10Ah-1 .11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181 



12;i-4-l 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193 



14A-f- 1 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211, 239 



16A H- 1 17, 97, 113, 193, 241, 257, 337 



etc. 

 hic casus, ubi exponens est potestas binarii, prae reliquis sunt notandi, quia in reliquis g-eneratim 

 divisores assignari possunt. Tales ergo numeri a* -i-6^ alios divisores primos non habent, nisi 

 qui in forma 2" "*~ * A -i- 1 contineantur. 



280. At a" — 6" dividi poterit per numerum primum /w/i -4- 1 , si numeri a et 6 ita fuerint 

 comparati, ut ax"' — by'" fiat divisibile per /w/i-i-l; dum scilicet pro x et y numeri assignari 

 queant, quibus ista conditio adimpleatur, tum ccrte a" — 6" per mn-h-i erit divisibile. 



