Tractatus de numerorum doctrina Cap. fO. 35 



281. Si enim ax'" — by'" sit divisibile per wm -+- 1 , tum etiam a"x"'" — f)"y"'"^ erit divisibile. 

 At semper dlvisibilis est haec forma a?'"" — y'"", ideoque etiam ista a"x"'" -^ a"y"'", quamobrem 

 etiam difTerentia a"y"'" — b"y"'", ac proinde a" — b" per numerum primum m/i-f-1 divisibile erit. 



282. Si ergo pro a et 6 ejusmodi numeri assumantur, ut a" — b" non sit divisibilis per nume- 

 rum quempiam primum mn-t-i, tum nulli numeri pro x et y assignari poterunt, ut ax'" — by'" 

 per eundem numerum primum mn~*~i divisionem admittat, nisi quidem uterque numerus x et y sit 

 ejusdem multiplum, statuuntur autem x et y primi inter se. 



283. Sic cum 2* — 1 tantum per 3 sit divisibile, fueritque 2m-4-l numerus primus, tum nisi 

 sit M = 1 , nullus numerus in hac forma contentus 2cc'" — y^" per illum numerum primum 2m -♦- 1 

 dividi poterit: 



ita posito niillus numerus divisibilis erit per 



m = 2 2£c^ — j^ 5 



m = 3 2£c* — j^ 7 



m = 5 2cc* — y^ 11 



w = 6 2x^—7« 13 



etc. 



Capiit X., 



De residuis ex divisione quadratorum per numeros primos ortis, 



284^. Quod residuum relinquitur, si quadratum a^ per numerum quemvis d dividatur, idem 

 quoque relinqultur, si haec inOnita quadrata (nd±a)* per eundem numerum d dividantur. 



285. Quare si residua examinare velimus, quae divisione numerorum quadratorum per datum 

 numerum d relinquuntur , sufficiet quadrata considerasse , quorum radices sint ipso hoc divisore d 

 minores, ideoque haec 



1, ^, 9, 16 {d^h)\ (d-3)^ {d-2)\ (d-l)', 



quorum numerus est d — 1. 



286. At quadrata extrema 1 et {d — 1)*, et quaevis bina, ab extremis aeque remota, paria dant 

 residua; unde si d — 1 sit numerus par, plura residua diversa resultare nequeunt, quam — (d — 1), 



1 



et si d — 1 est numerus impar , ob unum in medio positum , quam ^ d. 



287. Sit jam d numerus primus, et quia binarii judicium in promtu est, ponatur d=2p-*-i, 

 cum nunc omnia residua ex his quadratis resultent 1, k, 9,...(/) — 2)^, {p — 1)^, jo*, eorum 

 numerus major esse nequit quam p, unde manifestum est non omnes numeros ipso d = 2p-*- i 

 minores, quorum multitudo est 2p, inter residua occurrere, sed ad minimum eorum semissem excludi. 



288. Primum autem dico, omnia residua ex his quadratis 1, 4, 9.../)* oriunda inter se esse 

 inaequalia; si enim duo quadrata ipso p"^ non majora, puta m^ et /i*, idem darent residuum, eorum 

 differentia wi* — n"^, ideoque vel m — n, vel m-\-n per divisorem primum d = 2p-4-l esset divisi- 

 bills, quod, cum, oh m ^i-^d et n < — d , sit /w -h /i minus quam d, tieri nequit. 



« 



