36 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



289. Cum igitur omnia residua, ex divisione quadratorum 1, k, 9...p^ per numerum primum 

 d = 2/)-4-l orta, sint inaequalia, ea ita repraesentemus : 



radices 1 2 3 k 5 6 p 



quadrata 1 \ 9 16 25 36 p^ 



residua 1 a l3 y 8 « n 



et multitudo horum residuorum erit =/). 



290. Cum jam multitudo omnium numerorum ipso divisore 2p -h 1 minorum, qui simul ad 

 eum sunt primi, sit =2p, patet horum numerorum semissem ex ordine residuorum exchidi, quos ideo 

 non-residna appellemus. Erit ergo multitudo non-residuorum pariter ==/>, quae litteris germanicis 

 2(, 93, ^, T), etc. indicemus. 



291. Si ergo pro quovis divisore primo 2p -t- i haec non-residua invenerimus, affirmare 

 poterimus, nullum dari numerum quadratum xx, ita ut xx — % esset per 2/) -h 1 divisibile, deno- 

 tante 2( non-residuum quodcunque. Ac tales formulae xx — % per 2p -+- i individuae tot semper 

 exhiberi possunt, quot p continet unitates. 



292. Pro quovis ergo divisore primo 2/)-+-l numeri ipso minores distinguuntur in duas classes, 

 quarum altera residua, altera vero non-residua complectitur, et utraque totidem continet numeros, 

 ita ut quasi cuivis residuo suum respondeat non-residuum. Indolem ergo harum duarum classium 

 accuratius scrutari conveniet. 



293. Si in ordine residuorum occurrant duo numeri m ct n, in eodem quoque occurret eorum 

 productum mn, seu residuum ei aequivalens. Oriatur enim residuum m ex quadrato a* et n ex 6*, 

 atque ex producto a^b'^, quod pariter est quadratum, orietur residuum mn. 



2dk. Si ergo inter residua sit numerus quicunque m, ibidem quoque reperientur omnes ejus 

 potestates m^, m*, m*, etc, vel residua iis aequivalentia. Tum vero si praeterea adsit numerus /i, 

 in codera residuorum ordine quoque aderunt numeri mn, m^^n, mn^ et in genere m^Ai^ 



295. Ordo ergo residuorum 1, «, ^, /. . . .tt, pro quovis divisore primo 2/) h- 1 , hanc in- 

 signem habet proprietatem, ut in eodem quoque producta ex binis pluribusve terminis quibuscunque 

 occurrant, siquidem socundum indolem residuorum ad minimos valores*revocentur. 



296. Hoc eo magis est notatu dignum, quod ordo residuorum detcrminato terminorum numero 

 constat, quorum scilicet numerus tantum sit =/), cxclusis fotidem numeris non-residuis. Hoc tamen 

 non obstante, quomodocunque residua per multiplicationem inter se combinentur, tamen perpetuo 

 numeri in eodem ordine jam contenti occurrunt. 



297. Sit m numerus quicunque in ordiue residuorum occurrens, divisore primo existente 2p-*-l, 

 ac supra vidimus, si termini progressionis geometricae 1, m, m*, /n", m*, etc. per 2/> -i- 1 dividantur, 

 •nter residua quoque omnia producta ex binis contineri; sicque in residuis harum potestatum nulli 

 occurrent numeri, qui non simul in resichiis quadratorum reperiantur. 



298. Cum igitur multitudo residuorum, cx potestatibus oriundorum, superare nequeat multitudinem 

 ex quadratis ortorum, quae est =p, manifestum est vei potestatem m^, vel adhuc inferiorem residuum 



