Tractatus de mmerorum doctrina Cop. 10. 37 



praebere =\. Quod quldeni jam ostendimus, nam si m ox quadrato aa oriatur, erit m = aa — k(2p-¥-i); 

 et m^' — 1 manifesto per numorum primura 2p -t- 1 est divisibile. 



299. Sed ad rcsidua quadratorum revertentes notemus, si ibi occurrant numeri m et m/i, tum 

 etiam necessario ibidem numerum n repcriri debere. Si enim residuum m oriatur ex quadrato aa, et 

 mn ex quadrato 66, ex naa quoque residuum mn nascctur, undc 66 — naa pcr 2/)-+- 1 erit divi- 

 sibile, existentibus a et 6 ad 2/) -+- 1 primis. >; 



300. At si 66 — naa divisibiie est per 2p -t- i , etiam (b -t-k (2/> -i- I ))^ — naa crit divisibile. 

 Semper autem k ita assumere licet, ut flat b-h-k{2p-t- i)=:ac, seu ut k{2p-\~ 1) per a divisum 

 reiinquat 6. Dabitur erg-o numerus c, ut sit aacc — naa^ hoc est cc - n per 2/)-+-l divisibile, 

 quare quadratum cc dabit residuum n. 



301. Si in ordine residuorum sit numerus a, non-residuorum vero numerus 2(, productum 

 a'^ in ordine non-residuorum ccrte reperietur. Si enim in ordine residuorum esset, ibidem quoque 

 foret ?(, contra hypothesin. 



302. Si in ordine residuorum occurrat productum mn, ejusque altcr factor m in ordine non- 

 residuorum, alter quoque n certo in codcm ordine non-residuorum reperietur; si enim hic n esset 

 in residuis, eodem quoque m pertineret. 



303. Si duo non-rcsidua li et 33 in se ducantur, productum incidet in ordinem residuorum. 

 Nam cum in ordine residuorum omnia quadrata occurrant, primo evidens est omnia quadrata 2i^ 

 33*, (5*, etc. ibi esse; quod vero etiam producta binorum 2(23 ibidem reperiantur, ulteriori indiget 

 probatione jam instituenda. 



^OIh. Gognitis residuis 1 , a, /?, 7, etc, quorum numerus est =/>, divisore primo existeute 

 2/)-*- 1 , non-residua quidcm eo ipso dantur, cum sint reliqui numeri minores quam 2/>-f-l, quorum 

 numenis itidem est =p. At dato uno non-residuo 2(, reliqua omnia ex ipsis residuis ita determi- 

 nantur, ut sint li^ a7(, /52(, ylij etc, reductione scilicet ad minimos tcrminos facta. Sunt enim hi 

 numeri inaequales inter se, et eorum multitudo =/>• 



305. Duo ig:itur quaecunque non-residua © et (J spectari possunt tanquam hujusmodi producta 

 52( et eli, existentibus 5 et.e residuis, li vero non-residuo; unde productum duorum quorumvis 

 non-residuorum erit ^(i = belili, ubi 8s utpote productum duorum residuorum in ordine residuorum 

 reperitur. 



306. Tum vero in ordine residuorum occurrit etiam ^C^, quia in eo omnia plane quadrata, 

 seu residua aequivalentia repcriuntur. Quare cum tam be quam lili sit residuum, corum productum 

 quoque ®^ residuum sit necesse est, sicque productum duorum quorumvis non-rcsiduorum certe 

 in ordine residuorum continetur. 



307. Combinatio ergo duorum numerorum pro indole residuorum et uon-residuorum ita se habet: 



1. Productum ex duobus residuis est rcsiduum. 



2. Productum ex residuo et non-residuo est non-residuum. 



3. Productum ex duobus non-residuis cst residuum. 



