38 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



308. Non mediocriter haec illustrabuntur , si residua et non-residua ex divisione quadratorum 

 per numeros primos contemplemur: 



309. Complementum residui vocemus numerum, qui cum residuo faciat divisorem; ita si divisore 

 existente =d, sit quodpiam residuum = r, ejus complementum erit d — r. 



310. Si cujuspiam residui complementum occurrat iu ordine residuorum, etiam omnium resi- 

 duorum complementa ibidem occurrent. Nam si in ordine residuorum 1, «, /9, /, d, etc. occurrat 



oj cc divisore existente d , hoc residuum d — a etiam per — a = — 1 . « repraesentari potest, 



quare cum tam « quam productum — l.cc sit residuum, etiam — 1 erit residuum, ideoque etiam 

 ^, — y, — 8, etc. quibus aequivalent complemcnta reliquorum residuorum. 



311. In serie erg^o residuorum vel nullius, vel omnium complementa occurrent. Ex superioribus 

 exempHs patet, si divisor sit vel 3, vel 7, vel 11, vel 19, vel 23, nullius residui complementum in 

 refeiduis reperiri, sed ea esse non-residua. Sin autem divisor sit 5, vel 13, vel 17, vel 29, in ordine 

 residuorum quoque singulorum complementa inveniri. 



312. Si divisor sit 2p -t- i primus, atquc in residuis quoque singulorum complementa occurrant, 

 quoniam bina ita inter se cohaerent, ut altcrun^ alterius sit complemcntum , neque idem sui ipsius 

 complemcntum esse potest, ob 2p-+-i semissem non admittentem, numerus residuorum necessario 

 erit par. 



3 1 3. Cum ig;itur numerus residuorum sit =p, nisi p sit numcrus par, fieri nequit, ut residuomm 

 complcmenta sint etiam residua. Quarc si p sit numerus impar, ccrtum est nullius residui comple- 

 mentum in ordine rcsiduorum contiueri, ideoque omnium residuorum complementa ordinem non- 

 residuorum constituent. 



^l^. Sit igitur p numerus impar =2q — 1, ut divisor primus sit kq — 1, atque omnium 

 residuorum complementa erunt non-residua. Ita si quodpiam residuum sit «, ejus complementum 



n Script. ad marg. Divisor: 59. Residua: 1, —2, 3, 4, 5, —6, 7, —8, 9, —10, — U, 12, —13, — U, 

 15, 16, 17, —18, 19, 20, 21, 22, —23, —24, 25, 26, 27, 28, 29. Ergo si 4n — 1 est primus, vel 

 scx-^myy, vel talis forma xx — myy per eum est divisibili«. 



