Tractatus de mmerorum doctrma Cap. 10. 39 



kq — 1 — a erit non-residuum, seu nullum datur quadratum, quod per hq — i divisum, relinquat 

 kq — 1 — «. 



315. Cum igitur u quodcunque quadratum denotare possit, puta nn, nullum datur quadratum, 

 quod numero kq — 1 — nn minutum, per kq — i dividi queat. Hinc mm — {hq — i — nn) , seu 

 mm-\-nn nunquam per numerum primum formae kq — 1 divisibiie existet, nisi forte uterque numerus 

 m eX n seorsim per eum sit divisibilis. 



316. Demonstratum erg-o est summam duorum quadratorum inter se primorum dividi non posse 

 per ullum numerum primum hujus formae kq — !. Quodsi ergo talis binorum quadratorum summa 

 habeat divisores primos, ii certo erunt hujus formae kq-v-i, remoto scilicet binario, qui etiam 

 quandoque divisor esse potest, ambobus quadratis sumtis imparibus. 



317. Quando residuorum complementa inter residua deprehenduntur, complementa non-resi- 

 duorum etiam erunt non-residua; ac si unius residui complementum fuerit non-residuum, omnium 

 residuorum complementa erunt non-residua, atque complementa omnium non-residuorum vicissim 

 erunt residua. 



318. Si divisore existente 2/9-1-1, sit p numerus par, his solis casibus evenire potest, ut 

 residuorum complementa quoque sint residua; quod autem semper sint residua, hinc nondum est 

 evictum. Ad hoc autem comparari debent haec residua cum residuis ex serie potestatum ortis, ab 

 eodem divisore 2/) -*- 1 , si series potestatum ita fuerit comparata, ut multitudo residuorum aequalis 

 sit multitudini non-residuorum. 



319. Sit 1, a, d^, a^, etc. hujusmodi series potestatura, quae /) residua diversa praebeat, divisore 

 existente primo =2p-t-i, ita ut omnia residua futura sint 1, a, a^, a^....o''~*, ipsas scilicet 

 potestates tanquam residuis aequivalentes adhibendo. Non-residua autem sint totidem numero, ita 

 expressa: A , Aa, Aa^, Aa^, Aa^"^, 



320. Hic jam residua, pariter ac residua quadratorum, ita sunt comparata, ut 1) ab unitate 

 incipiant, 2) producla binorum residuorum quoque sint residua, 3) producta ex residuo et non- 

 residuo inter non-residua occurrant, unde concludere licet producta ex binis non-residuis iterum 

 in ordinem residuorum transire. 



321. Si a^ — 1 divisibile sit per 2p-f-l, tum a certe est residuum quadratorum. Si enim 

 esset non-residuum , omnia reliqua residua, quae sunt a«, a,3, ay, etc. eandem haberent proprietatem, 

 ideoque omnes numeri x ita essent comparati, ut x^ — 1 per 2p-k-i dividi posset, quod est 

 absurdum (*). , 



322. Cum enim in residuis quadratorum res ita se habeat, ubi numerus non-residuorum 

 aequalis est numero residuorum, si in residuis potestatum secus eveniret, et producta ex binis non- 

 residuis iterum darent non-residuum, niultitudo non-residuorum superaret multitudinem residuorum, 

 contra hypothesin. 



323. Hoc autem firmius ita ostendi potest: Cum A quodvis non-residuum denotare possit, ac 

 tum aliud quodvis non-residuum ita repraesentari possit, ut sit Aa" , productum binorum non- 



(*) Hic paragTaphus in autographo margini adscriptus est. 



