40 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



residuorum orit /^/^a", quod si esset non-residuum , aequivaleret tali formae Ja"', vel taii ^a'" "*"*''', 

 ita ut m majus sit quam n, ideoque difFerentia ^a"^ — JJa" foret per 2p-*-l divisibiiis. 



32^. Cum autem neque J neque a" per -2/) -t- 1 dividi qucat, foret a'"~" — ^ per 2p -f- 1 

 divisibile, seu potestas a"'~" per 2p -t- i dlvisa relinqueret residuum /4. Cum autem ^ non sit 

 residuum, sequitur banc bypolbesin esse absurdam, ideoque productum duorum non-residuorum non 

 in forma ^^a'", quae omnia non-residua complectitur, contineri, ideoque necessario inter residua 

 occurrere debere. 



325. Quare si a sit ejusmodi numerus, ut a^ sit minima potestas, quae per numerum primum 

 2p-t-l divisa, unitatem relinquat , ideoque ex divisione terminorum progressionis geometricae 

 i, a, a^ a^, a*... a^~^ tot residua diversa oriantur, quot p continet unitates, totidemque dentur 

 non-residua, certum est omnia producta binorum non-residuorum in ordine residuorum contineri. 



326. Cum autem omnes numeri divisore 2/) h- 1 minores vel in residuis, vel in non-residuis 

 contineantur, singulorum quadrata in ordine residuorum certo occurrent, quod cum etiam eveniat 

 in residuis ex quadratis ortis, sequitur ambos ordines residuorum, tam ex quadratis quam ex supe- 

 riori progressione geometrica ortos, plane inter se congruere. 



327. Quodsi ergo pro divisore primo 2/)-f-l sint residua ex quadratis orta 1, a, /9, 7, 5, etc, 

 tum vero Ti fuerit quodvis non-residuum , bic numcrus 2( etiam inter non-residua reperietur, quae 

 progressioni geometricae 1, a, a^, a*, ....a^"~^ respondent, si quidem a^ fuerit minima potestas 

 unitatem pro residuo praebens. 



328. Jam supra vidimus, si a fuerit residuum ex quadratis ortum, fore a^ — 1 certo per 

 2p-4-l divisibile; nunc autcm patct, si a fuerit non-residuum respectu quadratorum, tum a^ non 

 esse minimam potestalcm ipsius a, quae per 2/> -t- 1 divisa, unitatem relinquat. Ergo vel unitatem 



non relinquet, vel dabitur adbuc minor a v , quae unitatem relinquet. 



329. Si sit a ejusmodi numerus , ut potestas ejus a^, per numerum primum 2p -+- i divisa, 

 relinquat unitatem, tum a ccrte inter residua quadratorum continetur. Hoc evidens est, si a^ sit 

 minima potestas istius indolis. Sin autem non sit minima, id eo magis verum esse videtur. Nam 

 si detur minor, ex residuis illis, numero /), quaedam transcunt in ordinem non-residuorum. Si enim 



a~^ sit minima, tum a adeo inter residua biquadratorum, sin a 3 ^, inter residua potestalum sextarum 

 etc, ergo semper inler residua quadratorum continebitur. 



330. Si ergo a fuerit non-residuum ratione quadratorum, tum a^ — 1 certe non est divisibile 

 per 2/) -*- 1 , unde si a sit complementum cujuspiam residui, puta a = d — «, ponendo d = 2p-t-iy 

 tum {d — aY — 1 non est divisibile per 2/)-i-l, at a^ — 1 cerle est divisibile, ob a residuum, unde 

 differentia {d — aY — a^ etiam non erit divisibilis. 



331. At hacc differentia esset divisibilis, si p esset numerus par, quare nisi p sit numeras 

 impar, illa condilio, qua (d — a'f — 1 indivisibile per 2p -+- 1 assumsimus, hoc est qua d — a est 

 non-residuum, subsistere nequit. 



332. At si p sit numerus par, complementum cujuspiam residui a, puta d — a, certe est 

 residuum, proptcrea quod {d — a)P — 1 per 2p -t- i est divisibile; si cnim esset non-residuum, 

 haec divisibilitas locum baberc non posset. 



