Tractalus de numerorum docfrma Cap. 10. 41 



333. Si ergo sit |> = 27, numcrusque primus divisor propositns = kq -t- i , lum inter residua 

 quadratorum, etiam singulorum complcmcnta deprchcndentur, hoc est, si rcsidua fucrint !,«,/?, j/, etc. 

 ctiam residua crunt — 1, — a, — /3, — /, ctc. 



33^. Pro quovis ergo quadratorum, ex hac progrcssione 1, V, 9, iQ...kqq assumto, dabitur 

 aliud, quod ad illud additum producit summam per kq -h- i divisibilem, seu cum roultitudo horum 

 quadratorum sit =2^, et quodlibct habet quasi suum conjugatum, dabuntur q paria duorum qua- 

 dratorum divcrsa, quorum summa sit per kq -t- i divisibilis. (*) 



333. Et quia singula quadrata non supcrant kqq, binorum summa certe rainor est quam Sqq, 

 unde si talis summa pcr kq-i-i dividatur, quotus certe erit minor quam 2q. Ilic autem quotus 

 nisi sit =2, etiam crit vel numerus primus formae kn-t-i, vel talium aliquod productum (316). 



336. Quoties crgo divisor primus est formae kq-i-i, toties intcr residua quadratorum occurrit 

 kq, idcoque ctiam q, tanquam complcmcntum unitatis, cui acquivalet — I : parique modo ibidem 

 etiam occurrunt omnia rcliqua quadrata negativa — k, — 9, — 16, etc, ita ut residua conslituantur 

 complcxa, tam quadratorum ipsorum, quam eorundcm ncgative sumtorum, una cum productis ex 

 binis quibusque , quorum lamen omnium numerorum , si per divisorcm kq -*- i ad minimam formam 

 pcrducantur, mullitudo crit =2q, ita ut totidcm excludantur. 



337. Contra autcm, si divisor primns sil formae kq — 1, tum — 1 et omnia quadrata negativa 

 inter non rcsidua rcfcruntur (**). Si enim — 1 esset rcsiduum, foret ( — 1)'^"' — 1 divisibile per 

 kq — 1, quod autem fieri nequit. Praccedente autem casu, si — i esset non-residuum, divisore 

 existente kq-^i, tum ( — 1)*^ — 1 non esset divisibiie per kq -t- i , quod perinde est falsum. 



338. Sola autcm quadrata semper in ordine residuorum rcpcriuntur, rcliqui vero numcri, pro 

 ratione divisoris, mox inter residua, mox inter non-residua caduut, quemadmodum modo vidimus 

 — 1 esse residuum, si divisor sit ^gn-i; at — i esse non-rcsiduum, si divisor sit kq — 1. 



339. Pro ceteris numeris non-quadratis simile discrimcn observatur: Scilicet numcrus -i- 2 

 inter residua repcritur, quoties divisor primus est vel hujus 8^ -+- 1 , vel hujus formae Sq — 1, seu 

 8^-1-7. Reliquis casibus, quibus divisor est vcl 8^ -+-3, vcl 87 -h 5, numcrus -h 2 intcr non- 

 residua locum occupat. (^***) 



340. At numerus — 2 inter residua occurrit casibus, quibus divisor primus est vel Sq-i-i, 

 vel 8^-1-3; idem vero numerus — 2 inter non-rcsidua cadit casibus, quibus divisor primus est 

 vel Sq-i-5, vel Sq -h 7. 



3ki. Numerus porro -t- 3 cst residuum^ si divisor primus sit vel i2q -t- i , vel i2q-t-ii; at 

 idem erit non-residuum , si divisor sit vel 12^-1-5, vel 12^-1-7. Vcrum numerus — 3 est residuum, 

 si divisor primus sit vel 12^-1-1, vel i27-t-7: at — 3 erit non-residuum, si divisor sit i2q-^5, 

 vel i2g-+- 11. 



Scripfvrae ad marginem: 

 {*) Seraper duo exhiberi possiint quadrata, quorum summa divisibilis sit per numerum primum 4^-^-1, 



et quidem alterum quadratum ad lubitum assumi potest. 

 (**) Non ergo datur «umma duorum qnadratorum per talem numerum primum kq — 1 divisibilifl. 

 (***) Hoc autem non, ut praecedens, demonstralione muniri potesl. 



t. E u le ri Op. postham.». T. I. ^ 



