K 



Tractatus de numerorum doctnha Cap. 10. i3 



Deinde etiam numorus positivus -*- n erit residuum, si divisor primus fuerit formae knq — 1, 

 vel generalius knq — ii; pro his autem divisoribus numerus neg;ativus — n inter non-residua 

 reperietur. 



3^5. Si numerus positivus n sit residuum pro divisore d, erit eliam residuum pro divisore 

 primo quocunquc formae knq ±d , vel adeo knq z±z dii; at si numerus negativus — n sit residuum 

 pro divisore d, erit is quidem residuum pro divisore knq-v-d, at non-residuum pro divisore knq — d. 



3'i6. Si numerus positivus n fuerit residuum pro divisore d, deinde etiam pro divisore e, erit 

 etiam residuum pro divisore primo quocunque formae hnqz*zde. At si numerus negativus — /i 

 fuerit residuum pro divisoribus d et e, crit quoque residuum pro divisore quocunque primo formae 

 knq-t-de; pro divisoribus aulem knq — de intcr non-residua rcferetur. 



3V7. Si numcrus positivus n fuerit non residuum pro divisoribus d et <?, certe erit residuum 

 pro divisoribus primis omnibus formae hnqzh.de; at si numerus negativus — n sit non-residuum 

 pro divisoribus d et e, is erit residuum pro omnibus divisoribus primis formae knq-^-de; pro divi- 

 soribus autcm formae hnq — de erit non-rcsiduum. 



34^8. Quicunque numerus ±n proponatur, erit is semper rcsiduum, si divisor primus fuerit 

 in aliqua talium formarum knq~+-J, knq-^B, knq-^C, etc. contentus, quarum uumerus aequatur 

 semissi multitudinis numerorum ad kn primorum eoque minorum. Sin autem divisor in reliquis 

 formis contineatur, crit is non-residuum. 



349. Hic autem excipi debent casus, quibus numerus n est quadratus, quippe qui semper inter 

 residua occurrit, quicunque divisores accipiantur. Ac si n sit quadratum negativum, eadem ratio 

 valet ac pro — 1 . 



350. Primuni igitur demonstrari dcbet, si divisor primus sit knq-^ii, existeute ? numero 

 impari, inter rcsidua quadratorum scmper occurrere tam numeros n et q, quam eorum negativa — n 

 et — q. Sit i = 2m-^i, et quia divisor knq -^- kmm -t- km -t- i est formae kp-t-i, inter residua 

 continetur quadratum negativum — kmm — km — 1, ideoque numerus knq, et ob k residuum, etiam 

 numerus nq, itemque — nq, quare vel ambo numeri n ct q simul inter residua, vel ambo simul 

 inter non-residua occurrere deberent, unde dum altcruter fuerit inter residua, et alter ibidem repe- 

 riatur ncccsse est. 



351. Si n non esset residuum, nullum daretur quadratum xx, ui xx — n divisibile esset per 

 knq-*-kmm-^km-^ i. Si ergo demonstrari possct dari hujusmodi quadratum, evicta esset veritas 

 propositionis. Vcl si n esset non-residuum, hacc exprcssio /^^«y-*-^"""-»-^'" — 1 non essct divisibilis 

 per numorum primum, quarc si contrarium demonstrari posset, habcremus quod intcndimus. (*) 



352. Dcinde si divisor primus sit knq — kmm — km — 1, intcr residua quadratorum occurrere 

 numerum /i, inter non-rcsidua vcro numerum — /i, demonstrari oportet. Pari autcm jure inter 



(*) Script. ad marg. Si n esset non-rosiduum, foret quoque non-residuum nzz, ideoque etiam 



zt nzz H= y ( 4ngr -H 5 mm -t- im -♦- 1 ) , 

 quae expressio, si uno saltem casu esset quadratum, propositum constaret. Quod ob signa ambigua semper 

 uno sallem casu evenire debere videlur; idque eo magis, cum eliam n et q sint permutabiles, quin etiam 

 verum est, etsi divisor non sit primus. Dubium, si n=3, 7=: 5, 2m-t-l=5, rt3^2±85t/, vel 

 d=5zzzt85i/ quadratum effici nequit. Ergo demonstratio ita est adornanda, ul divisor statuatur primus. 



