U L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthm,t{ca. 



residua erit numcrus qr, et inter non-residua — q. Gum autcm intcr residua certo sit (2/w-i-l)^, 

 ibidcm erit knq, ideoque etiam nq. 



353. Concessis ergo his propositionibus, etsi demonstratio nondum patet, posito i numero 

 impari et hnq±u primo, pro divisore primo hnq-^-ii, cum residua sint n et — n, item naa et 



— naa, scmper ejusmodi quadratum xx dabitur, ut sit xx — naa divisibilc per knq-\~ii^ dcinde 

 ctiam ejusmodi quadratum yy^ ut sit yy-\-naa divisibile per knq-\- ii 



^^k. At divisore primo cxistcnte knq — «, ob residuum naa^ scmper datur quadratum xx^ ut 

 sit XX — naa divisibile per hnq — ii\ nullum autem existit quadratum yy, ut yy-\-naa fiat per 

 \nq — ii divisibile, quia hoc casu — naa est non-residuum. 



355. Cum knq-\-ii sit numerus formae kp-\-iy sempcr dabitur summa duorum quadratorum 

 ff-^-gg per eum divisibilis, quorum altcrum /f pro lubitu assumi potest. Quare si xx — naa divi- 

 sibiie sit per knq-t-ii, invcniri potest quadratum yy, ut fiat xx-\-yy per knq-\-ii divisibile, ac 

 tum crit etiam yy -t- naa pcr cundcm divisibilc. 



356. Cum knq — ii sit formae kp — 1, nulla datur summa quadratorum per knq — iV divisibilis; 

 quarc si xx — naa fuerit per knq — ii divisibile, fieri nequit ut yy-t-naa per eundem divisibile 

 exislat; forct enim quoque summa xx-t-yy divisibilis, quod est absurdum. 



357. Sumto divisore primo d—knq-y-ii, quia datur forma xx-\-naa per eum divisibilis, 

 dabitur eliam forma yy ~\- qaa per eum divisibilis, unde etiam qxx — nyy. Dabitur vcro etiam 

 forma yy — qaa divisibilis, ac propterca quoque talis forma qxx-t-nyy. 



358. Si divisor primus sit d= knq — ii, quia dantur talcs formulae xx — naa, itcm yy — qaa, 

 per eum divisibiles, etiam haec forma qxx — nyy per d erit divisibilis. Cum autcm talis forma 

 yy-\-qaa non pcr d sit divisibilis, nulia quoque hujusmodi forma qxx-\~nyy per d erit divisibilis. 



359. Vcrum ctiamsi haec proposiliones demonstrari posscnt, reliquae, quas supra observavlmus, 

 nondum essent evictae. Ex 3'+5 si detur quadratum, per d divisum reliquens residuum positivum 

 /i, dabilur quoque reliquens naa; tum autem existente ktiq±d numero primo, dabitur quoque 

 quadratum xx, quod pcr knqz*zd divisum relinquat idem rcsiduum, scu xx — naa divisibilc erit 

 per \nq-\-d. 



360. Scilicct si fucrit bh — naa per d divisibile, semper talis numerus xx — naa dabitur 

 divisibiiis per numcrum primum knq±d. Quin ctiam denotante i numerum imparem, ejusmodi 

 forma xx — naa exhiberi polest, quae sit divisibilis per numcrum primum knq±dii. 



361. Si detur quadratum bb, quod pcr d divisum rclinquat rcsiduum negativum — n, vel 



— naa , dabitur etiam quadratum xx, quod per numerum primum knq-\-dii divisum rclinquet — n, 

 vel — naa. Scilicet si d sit divisor formae bb-\-ncc, dabitur aj, ut sit xx-\-naa divisibile per 

 numerum primum knq -+- dii. 



362. Verura si d divisor formae hujusmodi bb-\-ncc, nulla dabitur hujusmodi forma xx-\-naa, 

 qaae sit divisibilis per talem numcrum primum knq — dii. Veluti si sit n=3, sumatur d=7, 

 quia 2 -\-2.i =7 , atque certum est hujus formae xx-\-3aa numeros nullos admittere divisores 

 talis formae 127 — 7//, cujusmodi sunt: 5, 17, 20, ki, 53, 65, 77, 89, 101, 9, 21, 33, k5. . 



