Tractatus de numerorum doctrina Cap. 10. 45 



363. Ex § ^k^ scquitur, si d el e fucrint divisores cujuspiam numeri Iiujus formae aa — /i66, 

 tum semper dari quadratum xx, ut xx — ncc sit div sibile pcr numcrum primum knq zt: deiiy quod 

 quidcm ex praccedente deduci posset, demonstrando si aa — nbb habeat divisorem d^ aliaque similis 

 forma ff — ngg divisorcm e, dari cliam hh — nkk divisibilcm per productum de. IIoc patebit, si 

 residua quadratorum, per numeros compositos divisorum, pcrpendcmus. 



36'!'. Denique notatu dignum cst, quod numcrus n, ac propterea etiam naa inter residua qua- 

 dratorum occurrere nequeat, nisi divisor primus sit hujus formae knq-^a^ ubi « non omncs numcros 

 ad kn primos eoque minores sig-niflcat, sed eorum tantum scmissem, altcra scmisse pcnitus exclusa. 

 Sicque omnes divisorcs primi formae xx — naa talem habcnt formam hnq -*- u , denotantc « aliquot 

 numeros, totidemque exclusis. 



365. Similis est ralio numcrorum formae xx-+-naa, cujus divisores primi adstringuntur ita 

 ad formam knq-t-a, ut totidcm numeri excludantur ab a, quot admittuntur. Utroque autem casu 

 omnia quadrata imparia ii pro a valent, et si a valeat, etiam aii valcbit. 



366. Ut dcmonstrationes has desidcratas tentemus, consideremus divisorem primum hp-t-i, et 

 cum duorum quadratorum summa aa -»- 66 exhiberi queat per eum divisibilis , ita ut alterum pro 

 lubitu assumi possit, auferatur {hp-t-i)bb, eritque aa — kpbb per kp -^ i divisibile, seu dabitur 

 quadratum aa, quod pcr h-p -h- i divisum relinquit hpbb, dabitur ergo quoque rehnquens />, seu 

 dabitur forma aa — pbb per kp-t- i divisibilis. 



367. Cum etiam detur forma aa — 66 per kp -¥- i divisibilis, addendo (k-p-i-i)bb, dabitur 

 etiam talis forma aa-\-pbb per hp-i- i divisibilis, quae quidcm jam inde patent, quod si quadrata 

 per numcrum primum hp-\-i dividanlur, in residuis tam -+-/> quam — p rcpcriantur. 



368. Sit autem divisor primus hffp-t-ii, denotante i nuracrum imparem, et quia tam forma 

 aa-t-bb quam aa — 66 per eum divisibilis exhiberi potest, hincque iiaa-t-iibb et iiaa — «66; inde 



■ auferendo, hinc vcro addendo (hffp -t- iijbb, habebuntur formulae iiaa — kffpbb et iiaa-t-kffpbb 

 per kffp-t-ii divisibiles, seu inter residua quadratorum erunt ±kffpbb , ideoque etiam ztp. Dabuntur 

 ergo numeri tam hujus xx-t-pyy, quam hujus xx — pyy formae per kffp-t-ii divisibilcs. (*) 



369. Si ergo concessis superioribus observationibus, divisor primus in quapiam harum formu- 

 larum contineatur: krq-i-i, krq-t-a, krq-t-^, krq-*-y, krq-t-c^, etc, ubi numeri i, a, jS, y, d, etc. 

 sunt primi ad kr eoque minores, quorum tamcn tantum scmissis hic occurrit, tum inter rcsidua qua- 

 dratorum certe occurrit numerus r; similique modo pro residuo — r tales formulae divisorum habentur, 

 quac cum illis conveniunt, si divisor sit formae kp-*-iy ab iis autem discrepant, si divisoris forma 

 fuerit kp — 1 . 



(*) Script. admarg. Prius manifestum; nam - — -^^=int. si x=i, y=2f; 



ut xx — 2yy divis. sit per 41, «=7, 10, 13, li, 17 



y=2, 3, 8, 4, 1 

 ut XX — 2yy divis. sit per 17, 



x=12, .«> 11,6 10, 7 16, I 17, 4 



y= 2 1 4 3 5. 



